Все вопросы к тесту (html) Основы теории управления

Все системы автоматического управления работают в условиях воздействия на них различных возмущений. Устойчивость это основное свойство системы автоматического управления, заключающееся в способности возвращаться в исходное состояние после снятия возмущающего воздействия. При соответствующем выборе параметров системы с учетом допуска на их значения можно обеспечить выполнение заданных требований к динамике системы, среди которых важнейшим является требование по обеспечению устойчивости. Для этого в пространстве параметров определяется область устойчивости и осуществляется их синтез. Например, контур управления угловой стабилизацией крылатой ракеты реализован в автопилоте в виде определенного алгоритма, основными параметрами которого являются передаточные отношения по углу i и угловой скорости j движения ракеты вокруг центра тяжести.

Для синтеза их значений определяется область устойчивости, и выбираются конкретные величины с учетом технологических допусков, как это показано ниже.

Для исследования устойчивости в параметрическом пространстве воспользуемся алгебраическими критериями в безразмерной форме и, в частности, критерием устойчивости Гурвица.

Согласно этому критерию для устойчивости системы автоматического управления с характеристическим уравнением:

anln+an-1ln-1+…+aklk+…+a1l+a0=0

· основным необходимым условием устойчивости является положительность значений всех коэффициентов характеристического уравнения ak

· дополнительным необходимым условием устойчивости является выполнение следующих условий:

0££1

· достаточным условием устойчивости является положительность старшего определителя Гурвица в безразмерной форме и всех его диагональных миноров.

Выведем условия устойчивости по этому критерию для характеристических уравнений 3-го, 4-го и 5-го порядков и, приравняв их к нулю, получим уравнения границ областей устойчивости

Для САУ с характеристическим уравнением a3l3+a2l2+a1l+a0=0 граница области устойчивости определяется следующим уравнением:

1-М1=0, где: M1=(а0а3)/(a1a2)

Для САУ с характеристическим уравнением a4l4+a3l3+a2l2+a1l+a0=0 граница области устойчивости определяется следующим уравнением:

1-М1-М2=0, где: M1=(а0а3)/(a1a2), M2=(а1а4)/(a2a3)

Для САУ с характеристическим уравнением a5l5+a4l4+a3l3+a2l2+a1l+a0=0 граница области устойчивости определяется следующим уравнением:

(1-M1)(1-M3)-M2(1-M1M3)2=0, где: M1=(а0а3)/(a1a2), M2=(а1а4)/(a2a3), M3=(а2а5)/(a3a4)

Если выполняются необходимые условия устойчивости, то с помощью полученных выражений можно построить области устойчивости для любых параметров САУ. Как правило, области устойчивости строятся в пространстве двух параметров.

При проектировании систем автоматического управления (САУ), когда требуется определить влияние значений каких-либо параметров на устойчивость, прибегают к построению областей устойчивости системы в пространстве этих параметров. Параметры элементов САУ (постоянные времени отдельных звеньев, коэффициенты передачи и т.п.) входят в коэффициенты ее характеристического уравнения и определяют значения его корней, т.е. устойчивость системы. Изменением параметров можно неустойчивую систему сделать устойчивой.

Наиболее широко используемым для определения значений варьируемых параметров, обеспечивающих устойчивость системы, является так называемый метод D-разбиения. Как правило, области устойчивости строятся в плоскости двух параметров системы. Такие области принято называть диаграммами Вышнеградского, впервые их использовавшего.

Метод основан на представлении характеристического уравнения в следующем виде

,

где: a и b - варьируемые параметры системы.

Произведя в этом выражении замену l=jw, получим

В полученном выражении в общем случае обе функции U(w) и V(w) зависят не только от w, но и от параметров a и b.

Для построения границ D-разбиения необходимо для каждого w определить a и b, при которых левая часть полученного уравнения обращается в ноль, т.е. решить совместно относительно a и b два уравнения: U(w)=0 и V(w)=0. После построения необходимо провести специальный анализ границ D-разбиения (правило штриховки) с целью нахождения среди них областей устойчивости с учетом того, что линия D-разбиения является отображением мнимой оси плоскости корней на плоскость параметров.

Задание: В пространстве двух параметров исследовать устойчивость системы автоматического управления (САУ) со следующей структурной схемой:

Передаточная функция этой системы определяется по формуле:

W(p)=Wпр(p)/[1+Wос(p)Wпр(p)],

где: Wпр(p)=K(T1p+1)/p( T22p2+2xT2p+1)(T3p+1), Wос(p)=1

Тогда характеристический полином имеет вид:

D(p)= p( T22p2+2xT2p+1)(T3p+1)+ K(T1p+1)

Делая замену p на l и раскрывая скобки, получаем выражение для характеристического уравнения рассматриваемой системы автоматического управления:

D(l)=a4l4+a3l3+a2l2+a1l+a0=0,

где: a4= T22T3

a3= T22+2xT2T3

a2=2xT2+T3

a1=1+KT1

a0=K

Построим область устойчивости в координатах коэффициента передачи К и постоянной времени колебательного звена Т2.

1. На панели задач щелкните на кнопке Пуск, откроется меню главное меню. Выполните команды меню Программы – OpenOffice.org Calc, откроется окно приложения OpenOffice.org Calc.

2. В диапазоне ячеек А1:А15 установите выравнивание По правому краю и начертание шрифта Жирный.

3. В ячейки А1, А2, А3, А4, A5 введите K=, T1=, T2=, x= и T3= соответственно.

4. В ячейки B1, C1, D1, E1, F1,G1 и введите числа 0,1; 0,2; 0,5; 1; 2 и 5 соответственно.

5. В ячейки B2, B3, B4 и B5 введите числа 1; 0,5; 2; и 4 соответственно

6. Скопируйте данные диапазона ячеек В2:В5 в диапазон ячеек С2:G5.

7. В ячейки А7, А8, А9, А10 и А11 введите обозначения: а0=, a1=, a2=, a3=, a4= соответственно.

8. В ячейку B7 введите формулу: =В1

9. В ячейку B8 введите формулу: =1+B1*B2

10. В ячейку B9 введите формулу: =2*B3*B4+B5

11. В ячейку B10 введите формулу: =B3^2+2*B3*B4*B5

12. В ячейку B11 введите формулу: = B3^2*B5

Для оценки устойчивости САУ воспользуемся выражениями для определителей Гурвица в безразмерной форме. В рассматриваемом случае система имеет характеристическое уравнение 4-го порядка. Уравнение границы области устойчивости будет иметь вид:

1-M1-M2=0

где: М1=а0а3/(a1a2), M2=a1a4/(a2a3)

13. В ячейки А13, А14 и А15 введите обозначения: М1=, М2= и D2*= соответственно.

14. В ячейку В13 введите формулу: =В7*В10/(В8*В9)

15. В ячейку В14 введите формулу: =B8*B11/(B9*B10)

16. В ячейку В15 введите формулу: =1-B13-B14

17. Выделите диапазон ячеек В7:В15 и скопируйте его в диапазон ячеек С7:G15.

18. Поочередно выделяя ячейки В15, С15, Е15, F15, G15 с помощью инструмента Подбор параметра, устанавливая Целевое значение равное 0 (условие границы области устойчивости), определите значения в ячейках В3, С3, Е3, F3, G3, при которых САУ оказывается на границе устойчивости.

19. С помощью клавиши CTRL выделите диапазоны ячеек A1:G1 и А3:G3 и нажмите на панели инструментов кнопку Диаграмма.

20. На первом шаге мастера диаграмм выберите тип Диаграмма XY, вид Только линии, установите режим Сглаживание линий и нажмите кнопку Далее.

21. На втором шаге мастера диаграмм выберите Ряды данных в строках и два раза нажмите кнопку Далее

22. На четвертом шаге мастера диаграмм уберите показ легенды, включите отображение сетки по обеим осям, в поле Заголовок введите: Область устойчивости, в поле Ось Х введите: К, в поле Ось Y введите: Т2 и нажмите кнопку Готово. Возникнет граница области устойчивости в координатах выбранных параметров, которая представляет собой гиперболу. Увеличьте горизонтальный размер диаграммы.

Область устойчивости лежит под построенной кривой. С помощь нее можно осуществить синтез (определение значения) параметров. Предположим, что коэффициент передачи К и постоянная времени Т2 могут меняться в пределах ±20%. Выберем определенное номинальное значение для Т2 =0,8. Если номинальное значение Т2=0,8±20%, то Т2max=0,96. Определим максимально допустимое значение коэффициента передачи К.

23. Скопируйте содержимое диапазона ячеек G1:G15 в ячейки Н1:Н15.

24. В ячейку Н3 введите 0,96

25. Выделите ячейку Н15 и выполните команду меню Сервис-Подбор параметра.

26. В окне диалога в поле Целевое значение введите 0, в поле Изменяемая яч. введите адрес ячейки Н1, нажмите кнопку ОК и в открывшемся окне кнопку Да. В ячейке Н1 возникнет результат 1,61.

Это максимально допустимое значение коэффициента передачи с учетом допусков на К и Т2. Теперь определим номинальное значение К.

27. В столбце I установите формат чисел с тремя цифрами после запятой. В ячейку I1 введите формулу =Н1/1,2. В этой ячейке возникнет результат 1,343.

Назначим номинальное значение из двух значащих цифр, не считая нуля. Создадим небольшой запас, округлив полученное значение в меньшую сторону (отбросим вторую и третью цифры после запятой), и получаем итоговый результат: при значениях параметров К=1,3±20% и Т2=0,8±20% будет обеспечена устойчивость САУ. Проверим это, рассмотрев наихудший вариант.

28. В ячейку Н1 введите формулу =1,3*1,2 (максимально возможное значение К), получится 1,56.

29. В ячейку Н3 введите формулу =0,8*1,2 (максимально возможное значение Т2), получится 0,96.

30. Проверьте, что в ячейке H15 возникло положительное число 0,015, что свидетельствует об устойчивости системы.

31. Сохраните полученный результат.

Используемые программы:

OpenOffice

Для системы автоматического управления, рассмотренной во второй части настоящего занятия вычислите реакцию дискретной системы по ее Z-передаточной функции и постройте диаграммы выходных решетчатых функций в относительной форме, т.е. зависимость величины отношения y(k)/y(¥) от значения k, для трех вариантов заданных исходных данных:

1. b1=1, b2=1, l1=0,5, l2=0,6.

2. b1=1, b2=1, l1=0,8, l2=0,7.

3. b1=1, b2=0,1, l1=0,5, l2=0,6.

Для системы автоматического управления, рассмотренной во второй части настоящего занятия вычислите реакцию дискретной системы по ее Z-передаточной функции и постройте диаграммы выходных решетчатых функций в относительной форме, т.е. зависимость величины отношения y(k)/y(¥) от значения k, для трех вариантов заданных исходных данных:

1. b1=1, b2=1, l1=0,8, l2=0,7.

2. b1=10, b2=20, l1=0,8, l2=0,7.

3. b1=0,5, b2=2, l1=0,5, l2=0,8.

Для системы автоматического управления, рассмотренной во второй части настоящего занятия вычислите реакцию дискретной системы по ее Z-передаточной функции и постройте диаграммы выходных решетчатых функций в относительной форме, т.е. зависимость величины отношения y(k)/y(¥) от значения k, для трех вариантов заданных исходных данных:

• b1=0,5, b2=2, l1=0,5, l2=0,7.
• b1=0,5, b2=2, l1=0,5, l2=0,8.
• b1=0,5, b2=0,1, l1=0,5, l2=0,8.

Для системы автоматического управления, рассмотренной во второй части настоящего занятия вычислите реакцию дискретной системы по ее Z-передаточной функции и постройте диаграммы выходных решетчатых функций в относительной форме, т.е. зависимость величины отношения y(k)/y(¥) от значения k, для трех вариантов заданных исходных данных:

• b1=1, b2=0,1, l1=0,5, l2=0,6.
• b1=0,5, b2=0,1, l1=0,5, l2=0,7.
• b1=10, b2=1, l1=0,8, l2=0,1.

Для системы автоматического управления, рассмотренной во второй части настоящего занятия вычислите реакцию дискретной системы по ее Z-передаточной функции и постройте диаграммы выходных решетчатых функций в относительной форме, т.е. зависимость величины отношения y(k)/y(¥) от значения k, для трех вариантов заданных исходных данных:

• b1=10, b2=20, l1=0,8, l2=0,1.
• b1=10, b2=20, l1=0,8, l2=0,7.
• b1=10, b2=1, l1=0,8, l2=0,1.

Используемые программы:

OpenOffice

Квантованием или дискретизацией называется процедура преобразования данных из непрерывной формы в дискретную. В дискретных САУ используются различные виды квантования: квантование по уровню (релейные системы), квантование по времени (импульсные системы), квантование по уровню и по времени (цифровые системы). Сигналы, дискретные только во временной области, представляют собой последовательности импульсов, появляющихся в определенные моменты времени. Обычно дискретный сигнал получается в результате периодического прерывания непрерывного сигнала с постоянным тактом. При квантовании по времени промежуток времени между передними фронтами соседних импульсов называется периодом или тактом квантования.

Существуют различные способы модуляции (формирования) отдельных импульсов, входящих в последовательность. Они отличаются допустимыми значениями амплитуд, шириной импульсов и модулирующей частотой. В цифровых САУ наибольшее распространение получила амплитудно-импульсная модуляция, представляющая собой такое преобразование непрерывного сигнала в последовательность импульсов, при котором высота импульса пропорциональна амплитуде текущего значения непрерывного сигнала, ширина постоянна, а интервалы между импульсами одинаковы и равны такту квантования. Устройство, преобразующее непрерывный сигнал в дискретный, называется квантователем.

Входной сигнал квантователя f(t) умножается на несущий сигнал p(t), который является последовательностью периодических сигналов, например, импульсов единичного веса.

Для входного сигнала f(t), который является функцией непрерывно изменяющегося параметра t, сигнал на выходе квантователя f*(t) представляет последовательность импульсов конечной длительности, амплитуда которых промодулирована входным сигналом. Длительность импульсов равна h, период квантования – T0 и соответствующая ему частота квантования F0=1/ T0 (Гц). Ниже представлены типичные формы входного, несущего и выходного сигналов – а),б) и в) соответственно.

Период квантования может быть непостоянным или изменяться циклически. Во всех случаях использование модели амплитудно-импульсного модулятора для представления квантователя очень удобно, так как при различных законах квантования меняется только несущий сигнал p(t).

Модулированная по амплитуде дискретная функция fT(t), получаемая квантованием по времени непрерывного сигнала f(t) с постоянным тактом Т0, математически описывается выражениями

fT(t)=f(kT0) при t=kT0

fT(t)=0 при kT0<t<(k+1)T0 (k=0, 1, 2….)

Таким образом, идеальный квантователь может быть представлен в виде так называемой решетчатой функции времени f(kT0) или, в сокращенной записи – f(k), значения которой определены в дискретные моменты времени t=kT0, где k – целое число, T0 – период квантования. В этом случае решетчатая функция представляет собой модулированную последовательность d-функций.

Идеальная d-функция описывается выражением

Выходная величина простейшего импульсного элемента или идеального квантователя fT(t), представляющая собой модулированную последовательность d-функций, будет равна

fT(t)=fTdT(t)

где: dT(t) представляет собой немодулированную последовательность импульсов единичной площади или d-функций, равноотстоящих по времени

С учетом того, что последовательность идеальных импульсов определена только в моменты времени t=kT0 (k=0, 1, 2…), функция fT(t) описывается следующим выражением

Решетчатые функции не обязательно формируются из некоторой исходной непрерывной функции. Любая числовая последовательность некоторой величины, определенной в дискретные моменты времени, может трактоваться как решетчатая функция. Обратная задача – формирование непрерывной функции из решетчатой не может быть решена однозначно, так как функции, заданной в дискретные моменты времени, может соответствовать бесконечное множество непрерывных функций. Непрерывные функции, совпадающие с заданными дискретными, называются огибающими решетчатой функции.

Дискретное преобразование Лапласа

показывает связь между изображением Лапласа модулированной последовательности d-функций и дискретным преобразованием Лапласа решетчатой функции f(kT0).

Введем новую переменную:

Подставим это выражение в предыдущее и получим Z-преобразование импульсного сигнала

,

где z – комплексная переменная.

Обратное преобразование осуществляется по формуле

причем контур интегрирования включает все полюса f(z).

Из этого выражения следует, что решетчатая функция времени (оригинал) f(kT0) заменяется ее изображением – Z-преобразованием f(z), то есть Z-преобразование практически совпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается только аргументом изображения.

При анализе дискретной системы необходимо решение разностных уравнений, устанавливающих связь между ее входом и выходом. Z-преобразование сводит это решение к алгебраическим операциям. Преобразование Лапласа превращает непрерывные функции времени t в функции комплексного переменного s, а Z-преобразование – функции дискретного времени или последовательность чисел в функции комплексной переменной z. Z-преобразование позволяет ввести понятие Z-передаточной функции, имеющей аналогию с обычной передаточной функцией для непрерывных систем.

Для построения реакции дискретной системы на входное воздействие можно использовать передаточную функцию. Z-передаточная функция дискретной системы определяется по формуле

,

где Y(z) и G(z) представляют собой Z-преобразования выходной и входной последовательности импульсов.

При вычислении реакции дискретной системы с заданной Z-передаточной функцией на известный дискретный сигнал на входе используется выражение:

Правая часть этого выражения разлагается на простые дроби, берется обратное Z-преобразование и находится реакция системы в виде выходной решетчатой функции:

y(k)=a1(l1)k-1+a2(l2)k-1+ … +an(ln)k-1+Z-1{разложение G(z) на простые дроби}.

Найдем реакцию дискретной системы с передаточной функцией

на дискретный ступенчатый вход .

В этом случае реакция дискретной системы будет равна:

,

где: ; ;

y(¥) – реакция системы в установившемся состоянии.

• Откройте лист 2 электронной таблицы.
• В ячейки А1:А7 и В1:В4 введите нижеприведенные исходные данные

• В ячейки В5, В6 и В7 введите формулы для расчета соответствующих параметров.
• В ячейки А10 и В10 введите соответственно k и y(k) и отцентрируйте их.
• В ячейки А11 и А12 введите числа 1 и 2.
• Выделите ячейки А11 и А12 и с помощью маркера заполнения продлите последовательность чисел до 20 (ячейка А30).
• В ячейку В11 введите формулу для вычисления переходной характеристики y(k), установив в ней абсолютную адресацию для номеров строк ячеек В3, В4, В5, В6 и В7 (не забудьте, что значение k расположено в А11), и скопируйте ее до ячейки В30.
• Выделите диапазон ячеек В10:В30 и нажмите кнопку Диаграмма на панели Стандартная.
• На первом шаге мастера диаграмм выберите Гистограмма – Обычная и нажмите Далее.
• На втором шаге проверьте правильность диапазона и нажмите Далее.
• На третьем шаге установите курсор в поле Категории, нажмите соседнюю с этим полем кнопку Выберите диапазон данных, выделите диапазон ячеек А11:А30 и нажмите Готово. На диаграмме должна быть следующая реакция дискретной системы в виде решетчатой функции:

Рассчитанный дискретный переходной процесс представляет реакцию дискретной системы с заданной передаточной функцией на единичное ступенчатое воздействие и, как видно из диаграммы, носит апериодический характер.

Сохраните полученные результаты.

Непрерывный сигнал в виде y(t)=1-e-t Sin(t+1,57) представим в дискретном виде. В промежутке времени от 0 до 5 секунд построим графики непрерывного сигнала и дискретного сигнала при заданном (Т0=0,2 сек.), увеличенном в два и в восемь раз периоде дискретизации

1. На панели задач щелкните на кнопке Пуск. Откроется главное меню. В меню выполните команды Программы – OpenOffice.org Calc. Откроется окно приложения OpenOffice.org Calc.

2. В ячейку А1 введите t, в ячейку B1 введите y(t), в ячейку С1 введите y(k,T), в ячейку D1 введите y(k,2T), а в ячейку Е1 введите y(k,8T). Установите расположение текста в этих ячейках по центру.

3. В ячейки А2 и А3 введите числа 0 и 0,2 соответственно.

4. Выделите ячейки А2 и А3 и с помощью маркера заполнения продолжите последовательность до значения 5 (ячейка А27).

5. В ячейку В2 введите формулу =1-SIN(A2+1,57)*EXP(-A2) и скопируйте ее в диапазон ячеек В3:В27.

6. Выделите диапазон ячеек В2:В27 и скопируйте его в диапазон ячеек C2:E27.

7. В столбце D электронной таблице удалите данные в нечетных строках, начиная с третьей, в столбце Е оставьте данные только в строках 2, 10, 18 и 26, а остальные удалите.

Таким образом в столбце В электронной таблицы приведены данные для построения непрерывного сигнала, в столбце С для построения результата дискретизации при значении периода квантования Т0=0,2 сек., в столбце D – при Т0=0,4 сек., а в столбце Е – при Т0=1,6 сек.

8. Выделите диапазон ячеек А1:В27.

9. Нажмите кнопку Диаграмма на панели Стандартная. В окне диалога Мастера диаграмм выберите тип диаграммы Диаграмма XY – Только линии, установите флажок Сглаживание линий и нажмите кнопку Готово. Возникнет диаграмма с видом непрерывного сигнала. Переместите её в верхнюю свободную часть листа.

10. Выделите диапазон ячеек С1:С27.

11. Нажмите кнопку Диаграмма на панели Стандартная. В окне Мастера диаграмм выберите тип Гистограмма – Обычная. Перейдите на третий шаг Мастера диаграмм (Ряды данных), в окне диалога установите курсор в поле Категории, с помощью кнопки Выберите диапазон данных введите в него значения времени в диапазоне ячеек А2:А22 Готово. Возникнет диаграмма с видом дискретного сигнала при Т0=0,2 сек. Поместите справа от первой диаграммы.

12. Выделите диапазон ячеек D1:D27 и повторите действия по п.11. Возникнет диаграмма с видом дискретного сигнала при Т0=0,4 сек. Поместите ее под первой диаграммой.

13. Выделите диапазон ячеек Е1:Е27 и повторите действия по п.11. Возникнет диаграмма с видом дискретного сигнала при Т0=1,6 сек. Поместите ее справа от третьей диаграммы. В итоге должно получится следующее.

Из полученных результатов очевидно, что с уменьшением периода квантования дискретный сигнал приближается по виду к непрерывному, а увеличение шага квантования может привести к существенному искажению и даже к потере информации.

Используемые программы:

OpenOffice

Представление непрерывного (аналогового) сигнала дискретной
последовательностью импульсов, по которым с заданной точностью можно восстановить исходный непрерывный сигнал, называется дискретизацией. Процесс восстановления дискретизированного сигнала называется интерполяцией. Обычно дискретный сигнал получается в результате периодического прерывания непрерывного сигнала с постоянным тактом. При квантовании по времени промежуток времени между передними фронтами соседних импульсов называется периодом или тактом квантования Т0.

От частоты или такта квантования сигнала зависит степень потери информации при дискретизации. Если моменты квантования следуют достаточно часто, то при квантовании непрерывного сигнала потери информации будут незначительны. Очевидно, что с увеличением величины периода квантования увеличивается степень потери информации. Естественно возникает вопрос: Как нужно проводить дискретизацию, чтобы не происходила потеря информации, т.е. при каких условиях исходное изображение совпадает с восстановленным? Ответ на этот вопрос дает теорема Котельникова-Шеннона. В 1933 году Котельниковым А.Н. была определена математическая зависимость между частотой среза wср непрерывной системы и интервалом квантования, которая обеспечивает адекватность по информативности процессов передачи непрерывных и дискретных сигналов. Эта зависимость была сформулирована в виде следующей теоремы: для того, чтобы непрерывный сигнал со спектром, ограниченным максимальной частотой wmax, можно было точно восстановить по последовательности его дискретных значений, необходимо, чтобы частота квантования w0 удовлетворяла условию

или для такта квантования Т0 должно выполняться следующее условие

Т0£Tmax/2

Таким образом, теорема Котельникова определяет условие адекватного восстановления информации из дискретного сигнала следующим образом: частота квантования непрерывного сигнала должна быть больше или равна удвоенной максимальной частоты спектра этого сигнала.

Рассмотрим прохождение непрерывного сигнала в виде косинусоиды через цифровую систему автоматического управления следующей структуры.

Непрерывный входной гармонический сигнал (косинусоида) g(t) поступает на ключ (КЛ), который преобразует его в дискретную последовательность импульсов g(kT), амплитуда которых пропорциональна амплитуде непрерывного сигнала. Аналогово-цифровой преобразователь (АЦП) преобразует амплитуду дискретного сигнала в цифровой код. В электронно-вычислительной машине (ЭВМ) сигнал обрабатывается согласно алгоритму и цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП) преобразует сигнал в последовательность импульсов x(kT) и экстраполятор превращает его в непрерывный сигнал x(t).

Будем считать, что сигнал должен проходить через систему без изменений, поэтому основным фактором, влияющим на его восстановление будет период дискретизации Т. Для упрощения проведем исследование влияния величины периода дискретизации, считая время относительной величиной, поэтому период дискретизации будем измерять в градусах.

Построим графики дискретизации косинусоиды на отрезке, равным двум ее периодам (период косинусоиды равен 2p или 360о), для значений такта квантования 30о, 90о, 180, 210о и 240о.

• На панели задач щелкните на кнопке Пуск. Откроется главное меню. В меню выполните команды Программы – OpenOffice.org Calc. Откроется окно приложения OpenOffice.org Calc.
• В ячейку А2 введите j (угол в градусах), а в ячейку В2 – r (угол в радианах).
• В ячейку А3 введите 0, а ячейку А4 30. Выделите ячейки А3 иА4 и с помощью маркера заполнения продолжите последовательность до значения 720 (ячейка 27).
• В ячейку В3 введите формулу =А3/57,296 (1 радиан =57,296о) и скопируйте ее до ячейки В27.
• В ячейки С2, D2, E2, F2 и G2 введите соответственно Cos30, Cos90, Cos180, Cos210, и Cos240.

Числа в этих обозначениях равны такту квантования (в градусах), который согласно теореме Котельникова в нашем случае не должен превышать половины периода косинусоиды, т.е. To £ 360о/2=180о. Таким образом, для Cos210 и Cos240 не выполняется условие теоремы Котельникова, и эти сигналы не могут быть восстановлены без ошибок после дискретизации. Проверим, так ли это?

• Отцентрируйте данные в строке 2 и установите для них начертание Жирный. В ячейки С3, введите формулу =Cos($В3) и скопируйте ее во все ячейки блока ячеек С3:G27.

• В столбце D удалите значения в ячейках D4, D5, D7, D8… и так далее (должны остаться только значения при j кратном 90).
• Аналогично в столбцах E, F и G оставьте только значения при j кратном 180, 210 и 240 соответственно, чтобы получилось следующее:

Можно считать, что проведена дискретизация сигналов – все косинусоиды представлены различным числом импульсов ( от 25 у Cos30 до 4 у Cos240). Построим графики этих дискретных сигналов.

• Выделите диапазон ячеек С2:С27.
• Нажмите кнопку Диаграмма на панели Стандартная. В окне мастера диаграмм выберите тип Гистограмма – Обычная и нажмите Готово (Можно не устанавливать на диаграмме значения по оси абсцисс, т.к. все диаграммы будут строиться в одинаковом диапазоне от 0 до 720) Расположите полученную диаграмму снизу от таблицы значений так, чтобы таблица была видна.
• Выделите ячейку D2 и при нажатой клавише Ctrl выделите ячейку D3 и все остальные ячейки столбца D, в которых располагаются значения Cos90.
• Повторите действия по п.9.
• Пользуясь методикой, изложенной в п.10 и 11 постройте диаграммы для сигналов Cos180, Cos210 и Cos240. Будьте аккуратны и внимательны при выделении диапазонов значений.
• Сгруппируйте все диаграммы по порядку под таблицей значений, должно получиться следующее (отметим, что сигнал Cos90 состоит из 9 импульсов, 4 из которых имеют амплитуду, равную 0):

Теперь проведем преобразование сигналов из дискретной формы в аналоговую - построим «непрерывные» графики этих сигналов и проверим справедливость теоремы Котельникова. В качестве экстраполятора используем изменение типа диаграммы.

• Дважды щелкните на диаграмме изображающей Cos30, диаграмма выделится серой рамкой. Щелчком правой кнопки мыши вызовите для нее контекстное меню и в нем выберите команду Тип диаграммы.
• В окне диалога выберите тип диаграммы Диаграмма XY – Только линии, установите флажок Сглаживание линий и нажмите ОК. Диаграмма изменит вид, по дискретным импульсам будет построена их непрерывная огибающая.

Принципы, реализованные при построении диаграмм, схожи с принципами работы экстраполятора и фильтра.

• Повторите п.п. 14 и 15 в отношении сигналов Cos90, Cos180, Cos210 и Cos240. В итоге получится следующее:

Как и ожидалось, сигналы Cos210 и Cos240 преобразовались с неприемлемыми искажениями, а остальные сигналы в целом «восстановили» по дискретным значениям свою аналоговую форму в виде косинусоиды.

• Сохраните электронную таблицу в Вашей папке.