Все вопросы к тесту (html) Основы теории управления

1. В ячейку А2 введите текст: x =, в ячейки Е1 и Е2 введите 1 и 0,5 соответственно.

2. В ячейку Е3 введите формулу =SQRT(1-E$2^2)/

3. В ячейку Е4 введите текст: h(t)кол1/0,5.

Для расчета переходной характеристики колебательного звена используем формулу, приведенную в таблице 1 теоретической части.

4. В ячейку Е5 введите формулу:

=1-SIN(E$3*$A5/E$1+ATAN(E$3/E$2))*EXP(-E$2*$A5/E$1)/E$3

5. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек Е6:Е55

14. Выделите два диапазона ячеек А4:А55 и Е4:Е55 и постройте диаграмму аналогично изложенному в п.7 предыдущего раздела. Возникнет кривая переходной характеристики колебательного звена с постоянной времени Т=1с. и относительным коэффициентом затухания x=0,5.

6. Переместите новую диаграмму в правую часть листа, расположив ее под первой диаграммой.

Переходная характеристика колебательного звена отличается от переходной характеристики апериодического звена наличием колебаний около установившегося значения. Проведем исследование влияния значений Т и x на вид переходной характеристики.

7. В ячейки F1, G1 и H1 введите числа 0,5; 1 и 1соответственно.

8. В ячейки F2, G2 и H2 введите числа 0,5; 0,9 и 0,2 соответственно.

9. Скопируйте формулу из ячейки Е3 в ячейки F3, G3 и H3.

10. В ячейки F4, G4 и H4 введите текст: h(t)кол0,5/0,5; h(t)кол1/0,9 и h(t)кол1/0,2 соответственно.

11. Скопируйте формулу из ячейки Е5 в диапазон ячеек F5:H55.

12. Аналогично изложенному выше (п.п.11-13 предыдущего задания) постройте на второй диаграмме четыре переходных характеристики колебательного звена.

Выше рассматривались переходные характеристики устойчивых звеньев. Посмотрим, как выглядит переходная характеристика, если звено или система находится на грани устойчивости или неустойчива.

13. В ячейку Н2 введите число: 0,001, на диаграмме возникнет переходная характеристика звена, находящегося на грани устойчивости (переходной процесс близок к автоколебаниям с постоянной амплитудой).

14. В ячейку Н2 введите отрицательное число: -0,5, на диаграмме возникнет переходная характеристика неустойчивого звена (переходной процесс расходится).

1. На панели задач щелкните по кнопке Пуск, откроется главное меню. Выполните команды меню Программы – OpenOffice.org Calc, откроется окно приложения OpenOffice.org Calc.

Постоянные времени типовых звеньев будем брать в диапазоне от 0,5 с. до 2 с., поэтому переходные характеристики будем строить на отрезке времени от 0 до 10 с. с шагом 0,2 с.(шаг должен быть более, чем в 2 раза меньше постоянной времени) Для простоты коэффициент передачи звеньев будем считать равным 1.

2. В ячейку А4 введите букву t . Выделите диапазон ячеек А4:Н4 и установите для них шрифт Жирный и расположение Горизонтально по центру

3. В ячейки А5 и А6 введите 0 и 0,2 соответственно и с помощью маркера автозаполнения продолжите ряд значений до 10 (ячейка А55).

4. В ячейку А1 введите текст: Т =, а в ячейку В1 введите 1.

Для расчета переходной характеристики апериодического звена используем формулу, приведенную в таблице 1.

5. В ячейку В4 введите текст: h(t)апер1, а в ячейку В5 введите формулу: =1-EXP(-$A5/B$1).

6. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек В6:В55.

7. Выделите диапазон ячеек А4:В55, нажмите кнопку Диаграмма на панели инструментов Стандартная, в окне Мастер диаграмм выберите Диаграмма XY-Только линии, установите режим Сглаживание линий и нажмите Готово. Возникнет кривая переходной характеристики апериодического звена с постоянной времени равной 1 с.

8. Переместите диаграмму в правый верхний угол экрана.

Посмотрим, как влияет изменение величины постоянной времени на вид переходной характеристики. Построим переходные характеристики при Т равном 0,5с. и 2с.

9. В ячейки С1 и D1 введите 0,5 и 2, а в ячейки С4 и D4 h(t)апер0,5 и h(t)апер2 соответственно.

10. Скопируйте формулу из ячейки В5 в диапазон ячеек С5:D55.

11. Дважды щелкните по диаграмме, она выделится серой рамкой.

12. Вызовите для нее контекстное меню и выберите в нем Диапазоны данных…

13. В окне диалога замените диапазон данных на А4:D55 и нажмите ОК. На диаграмме отобразятся три переходные характеристики в следующем виде.

В результате можно сделать вывод, что с увеличением постоянной времени апериодического звена переходная характеристика или реакция звена на единичное ступенчатое воздействие увеличивается по продолжительности.

Проведем анализ качества переходного процесса по переходной характеристике колебательного звена при Т=1с. и x=0,4 на основе сведений, приведенных в теоретической части занятия.

1. В ячейку Н2 введите число 0,4, изменятся данные в столбце Н и вид переходной характеристики h(t)кол1/0,2 на второй диаграмме.

2. Выделите диапазон ячеек J40:K46 и с помощью кнопки Обрамление панели инструментов Форматирование установите внутреннее и внешнее обрамление этого диапазона. Установите для таблицы начертание Жирный и отцентрируйте второй столбец.

3. В ячейки J40: J46 введите данные в соответствии с таблицей

4. Так как коэффициент передачи равен К=1, то очевидно, что для всех переходных характеристик установившееся значение (при t®¥) равно 1. Введите в ячейку K40 число 1.

5. Для определения длительности переходного процесса просмотрите значения переходной функции в столбце Н, зафиксируйте величину времени t в столбце А, после которого значение h(t) будет оставаться в пределах 0,95£Yуст £1,05, и введите его в ячейку K41.

6. По значениям переходной функции в столбце Н зафиксируйте величины первого и второго максимумов переходной характеристики и введите их значения в ячейки K42 и K43.

7. В ячейку K44 введите формулу для расчета величины перерегулирования:

=100*(K42-K40)/K40.

8. В ячейку K5 введите формулу для расчета декремента затухания: =LN(K42/K43).

9. Для определения времени нарастания переходного процесса в столбце Н выделите ячейку, в которой первый раз с момента t =0 значение h(t) становится больше Yуст. Выполните команду меню Сервис-Подбор параметра, в окне диалога введите целевое значение равное Yуст , в поле Изменяемая яч. введите адрес ячейки в столбце А, которая расположена в той же строке, что и ячейка с формулой.

10. Нажмите ОК, подтвердите вставку результата и скопируйте его в ячейку K46. Должен получиться следующий результат.

Используемые программы:

OpenOffice

Качество работы или просто качество САУ оценивается с помощью показателей, характеризующих ее поведение в статических и динамических режимах. Оценка качества системы заключаются в анализе ее переходных процессов.

Наиболее точно качество САУ можно оценить по ее переходной характеристике, являющейся реакцией системы на единичное ступенчатое воздействие. На рисунке приведен колебательный переходной процесс, который содержит показатели поведения САУ во всех режимах.

Переходной процесс стремится к установившемуся значению – уУСТ., которое представляет собой статическое отклонение регулируемой величины от заданной и характеризует точность системы.

К прямым показателям качества относятся следующие:

1. Вид переходного процесса – характер изменения переходной характеристики. Он может быть колебательным или апериодическим (плавным)

2. Длительность переходного процесса tП – время, в течение которого отклонение выходной величины от установившегося значения (y(t)=yУСТ при t®¥) станет меньше наперед заданной величины Dy. На практике величина «трубки», в которую входит переходная характеристика обычно задается равной Dy=0,05 yУСТ.

3. Перерегулирование s – отношение разности между максимальным и установившимся значениями переходного процесса к установившемуся значению в процентах. Оно характеризует максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения

В технических системах допустимым считается перерегулирование до 30%, однако, в некоторых случаях перерегулирование вообще не допускается.

4. Колебательность N – число полных колебаний переходной характеристики за время длительности переходного процесса tП.

5. Частота колебаний wК – определяется периодом колебаний переходной характеристики t

wК=2p/t

6. Декремент затухания d – характеризует интенсивность затухания переходной характеристики

7. Время достижения переходной характеристикой первого максимума - tM.

8. Время нарастания переходной характеристики - tН.

9. Точность переходного процесса Dh - величина установившегося отклонения переходной характеристики от заданного значения

Dh=h(t)-1(t) при t®¥.

Передаточные функции сложных динамических элементов можно представить в виде выражения, состоящего из произведений простых сомножителей первого или второго порядка. При анализе динамических свойств систем автоматического управления часто оказывается удобным вводить в рассмотрение понятие элементарных (типовых) звеньев как некоторых простейших составных частей динамического элемента. Типовые звенья это стандартные составные части динамических элементов системы, описываемые дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. Все элементарные звенья по характеру процессов, происходящих в них, можно разбить на следующие типы:

· Усилительное звено

· Интегрирующее звено

· Апериодическое звено

· Колебательное звено

· Дифференцирующее звено первого порядка

· Дифференцирующее звено второго порядка

· Звено чистого запаздывания

Для исследования свойств динамических систем используются типовые воздействия.

При исследовании динамики САУ в качестве типового часто используют ступенчатое воздействие или единичный скачок.

Единичное ступенчатое воздействие описывается следующим выражением:

Реакция системы (переходной процесс на выходе системы) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях называется переходной функцией или переходной характеристикой

h(t)=y(t) при x(t)=1, у(0)=0

По виду переходной характеристики (переходного процесса) можно судить о таких свойствах системы как быстродействие, колебательность, быстрота затухания колебаний, точность и других, которые объединены под понятием «качество процессов управления».

В таблице 1 приведены передаточные функции и переходные характеристики для некоторых элементарных звеньев.

Таблица 1

Передаточная функция системы автоматического управления представляет собой колебательное звено:

=0,5/(0,49p2+0,7p+1)

На вход системы подается единичное ступенчатое воздействие. На выходе системы наблюдается реакция в виде переходной характеристики. Постройте график переходной характеристики и определите по нему указанные в заданиях значения показателей качества.

Передаточная функция системы автоматического управления представляет собой колебательное звено:

=2/(64p2+9,6p+1)

На вход системы подается единичное ступенчатое воздействие. На выходе системы наблюдается реакция в виде переходной характеристики. Постройте график переходной характеристики и определите по нему указанные в заданиях значения показателей качества.

Передаточная функция системы автоматического управления представляет собой колебательное звено:

=3/(0,36р2+0,48р+1)

На вход системы подается единичное ступенчатое воздействие. На выходе системы наблюдается реакция в виде переходной характеристики. Постройте график переходной характеристики и определите по нему указанные в заданиях значения показателей качества.

Передаточная функция системы автоматического управления представляет собой колебательное звено:

=4/(0,16p2+0,2p+1)

На вход системы подается единичное ступенчатое воздействие. На выходе системы наблюдается реакция в виде переходной характеристики. Постройте график переходной характеристики и определите по нему указанные в заданиях значения показателей качества.

Передаточная функция системы автоматического управления представляет собой колебательное звено:

=5/(0,09р2+0,12р+1)

На вход системы подается единичное ступенчатое воздействие. На выходе системы наблюдается реакция в виде переходной характеристики. Постройте график переходной характеристики и определите по нему указанные в заданиях значения показателей качества.

1. В ячейку А31 введите выражение для передаточной функции колебательного звена: W(p)=k/(T^2p^2+2xTp+1)

Зададим значения коэффициента передачи k, постоянной времени Т и коэффициента затухания x колебательного звена.

2. Скопируйте содержание диапазона ячеек С1:D3 в диапазон ячеек С31:D33

3. В ячейку D31 введите число 5, а в ячейку D32 число 2.

4. В ячейку F31 введите x =, а в ячейку G31 введите число 0,4. В ячейке F31 установите выравнивание текста По правому краю.

5. Скопируйте содержание диапазона ячеек А4:С4 в диапазон ячеек А34:С34.

6. Скопируйте содержание диапазона ячеек А5:А25 в диапазон ячеек А35:А55.

Для расчета АФЧХ колебательного звена используем формулу, приведенную в теоретическом разделе.

7. В ячейку В35 введите формулу:

=$D$31*(1-($D$32*A35)^2)/((1-($D$32*A35)^2)^2+(2*$G$31*$D$32*A35)^2)

8. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек В36:В55.

9. В ячейку С35 введите формулу:

= -2*$D $31*$G$31*$D$32*A35/((1-($D$32*A35)^2)^2+(2*$G$31*$D$32*A35)^2)

10. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек C36:C55.

11. Выделите диапазон ячеек В35:С55, нажмите кнопку Диаграмма на панели инструментов Стандартная, в окне Мастер диаграмм выберите Диаграмма XY-Только линии, установите режим Сглаживание линий и нажмите Готово. Возникнет амплитудно-фазовая частотная характеристика колебательного звена с постоянной времени равной 2 с., коэффициентом передачи равным 5 и относительным коэффициентом затухания равным 0,4.

12. Измените размер диаграммы так, чтобы масштаб значений по вертикальной и горизонтальной осям был бы одинаковым. АФЧХ колебательного звена должно представлять собой овальную фигуру, расположенную под горизонтальной осью. АФЧХ при изменении частоты от 0 до ¥ проходит через два квадранта плоскости координат.

13. Проведите исследование влияния параметров колебательного звена на форму и расположение ее АФЧХ. Задавая указанные в таблице значения параметров, постройте АФЧХ колебательного звена.

Таблица

14. Определите какие параметры колебательного звена определяют значение АФЧХ при нулевой частоте и значение АФЧХ при пересечении отрицательной части мнимой (вертикальной) оси.

1. На панели задач щелкните по кнопке Пуск, откроется главное меню. Выполните команды меню Программы – OpenOffice.org Calc, откроется окно приложения OpenOffice.org Calc.

2. В ячейку А1 введите выражение для передаточной функции апериодического звена: W(р)=k/(Tp+1).

Зададим значения коэффициента передачи k и постоянной времени Т апериодического звена.

3. В ячейки С1, С2 и С3 введите: k= , Т= и 1/Т= соответственно и установите выравнивание текста По правому краю.

4. В ячейки D1 и D2 введите числа 5 и 2 соответственно, а в ячейку D3 формулу: =1/ D2

В зависимости от величины частоты w вычислим вещественную U(w) и мнимую V(w) частотные характеристики, по значениям которых построим амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). Для построения АФЧХ нет необходимости вычислять значения U(w) и V(w) во всем диапазоне частот от 0 до ¥, достаточно определить их в диапазоне частот от 0,1/T до 10/T и для крайних значений w, равных 0 и, например, 1000000.

5. В ячейку А4 введите букву w . Выделите диапазон ячеек А4:С4 и установите для них шрифт Жирный и расположение Горизонтально по центру

6. В ячейку А5 введите 0. В ячейки А6:А15 введите формулы: =0,1*D3; =0,2*D3; =0,3*D3; =0,4*D3; =0,5*D3; =0,6*D3; =0,7*D3; =0,8*D3; =0,9*D3; =D3 соответственно.

7. В ячейки А16:А24 введите формулы: =D3/0,9; =D3/0,8; =D3/0,7; =D3/0,6; =D3/0,5; =D3/0,4; =D3/0,3; =D3/0,2; =D3/0,1 соответственно. В ячейку А25 введите число 1000000.

Для расчета АФЧХ апериодического звена используем формулу, приведенную в теоретическом разделе.

8. В ячейку В4 введитеU, а в ячейку C4 введите V.

9. В ячейку В5 введите формулу: =$D$1/(1+($D$2*A5)^2).

10. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек В6:В25.

11. В ячейку C5 введите формулу: = - $D$1*$D$2*A5/(1+($D$2*A5)^2).

12. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек C6:C25.

13. Выделите диапазон ячеек В5:С25, нажмите кнопку Диаграмма на панели инструментов Стандартная, в окне Мастер диаграмм выберите Диаграмма XY-Только линии, установите режим Сглаживание линий и нажмите Готово. Возникнет амплитудно-фазовая частотная характеристика апериодического звена с постоянной времени равной 2 с. и коэффициентом передачи равным 5.

14. Измените размер диаграммы так, чтобы масштаб значений по вертикальной и горизонтальной осям был бы одинаковым. АФЧХ апериодического звена должно представлять собой половину окружности.

15. Зафиксируйте значение частоты wm, при которой АФЧХ достигает минимума по вертикальной оси, и рассмотрите, как это значение соотносится с величиной постоянной времени апериодического звена.

16. Зафиксируйте величину радиуса полуокружности R, которая представляет график АФЧХ апериодического звена, и рассмотрите, как это значение соотносится с величиной коэффициента передачи звена.

Посмотрим, как влияет изменение величин коэффициента передачи и постоянной времени на вид амплитудно-фазовой частотной характеристики.

17. В ячейку D1 введите число 2 и проверьте, что изменились числовые значения по вертикальной и горизонтальной оси. Еще раз убедитесь в этом, введя в ячейку D1 число 10.

18. В ячейку D2 введите число 0,1 и проверьте, что график АФЧХ не изменился. Еще раз убедитесь в этом, введя в ячейку D2 число 8. При изменении значения постоянной времени меняется только значения диапазона частот, в том числе и значение wm.

Построим АФЧХ системы автоматического управления состоящей из трех последовательно соединенных апериодических звеньев с общим коэффициентом передачи равным 1 и постоянными времени Т1, Т2 и Т3. В этом случае передаточная функция системы определяется как произведение передаточных функций звеньев:

W(p)=1/(T1p+1)(T2p+1)(T3p+1)

После замены р на jw и перемножения элементов знаменателя получаем выражение для АФЧХ:

W(jw)=1/[T1T2T3(jw)3+(T1T2+T1T3+T2T3)(jw)2+(T1+T2+T3)(jw)+1]

Учитывая, что j2=-1, разделяем знаменатель на вещественную и мнимую части:

W(jw)=1/{[1-(T1T2+T1T3+T2T3)w2]+j[(T1+T2+T3)w-T1T2T3w3]}

Далее умножаем числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное выражение для знаменателя, чтобы получить в знаменателе разность квадратов и избавиться от мнимой части:

W(jw)={[1-(T1T2+T1T3+T2T3)w2]-j[(T1+T2+T3)w-T1T2T3w3]}/({[1-(T1T2+T1T3+T2T3)w2] +j[(T1+T2+T3)w-T1T2T3w3]}*{[1-(T1T2+T1T3+T2T3)w2]-j[(T1+T2+T3)w-T1T2T3w3]})=

{[1-(T1T2+T1T3+T2T3)w2]-j[(T1+T2+T3)w-T1T2T3w3]}/{[1-(T1T2+T1T3+T2T3)w2]2 +[(T1+T2+T3)w-T1T2T3w3]2}

Отсюда:

U(w)=[1-(T1T2+T1T3+T2T3)w2]/{[1-(T1T2+T1T3+T2T3)w2]2 +[(T1+T2+T3)w-T1T2T3w3]2}

V(w)=[(T1+T2+T3)w-T1T2T3w3]/{[1-(T1T2+T1T3+T2T3)w2]2 +[(T1+T2+T3)w-T1T2T3w3]2}

1. В ячейку А61 введите выражение для передаточной функции системы автоматического управления: W(p)=1/(T1p+1)(Т2р+1)(Т3р+1)

2. В ячейки С61, С62, C63 и F61 введите Т1=, Т2=, 1/T2= и Т3= соответственно и установите в них выравнивание По правому краю.

3. В ячейку D63 введите формулу =1/D62

Зададим значения постоянных времени Т

4. В ячейки D61, D62 и G61 введите числа 0,5, 1 и 2 соответственно.

5. Скопируйте содержание диапазона ячеек А34:С34 в диапазон ячеек А64:С64.

6. Скопируйте содержание диапазона ячеек А35:А55 в диапазон ячеек А65:А85.

Для расчета АФЧХ системы автоматического управления используем формулы, выведенные в начале этого раздела. Для упрощения записи проведем предварительные вычисления

7. В ячейку Е61 введите формулу: =D61*D62*G61.

8. В ячейку Е62 введите формулу: =D61*D62+D61*G61+D62*G61

9. В ячейку Е63 введите формулу: =D61+D62+G61

10. В ячейку B65 введите формулу для вещественной частотной характеристики U(w):

=(1-$E$62*A65^2)/((1-$E$62*A65^2)^2+($E$63*A65-$E$61*A65^3)^2)

11. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек В66:В85.

12. В ячейку С65 введите формулу для мнимой частотной характеристики V(w):

= ($E$63*A65-$E$61*A65^3)/ ((1-$E$62*A65^2)^2+($E$63*A65-$E$61*A65^3)^2)

13. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек С66:С85.

14. Выделите диапазон ячеек В65:С85, нажмите кнопку Диаграмма на панели инструментов Стандартная, в окне Мастер диаграмм выберите Диаграмма XY-Только линии, установите режим Сглаживание линий и нажмите Готово. Возникнет амплитудно-фазовая частотная характеристика системы автоматического управления, состоящей из трех апериодических звеньев, соединенных последовательно.

15. Измените размер диаграммы так, чтобы ее размер был возможно большим. АФЧХ рассматриваемой системы автоматического управления должно представлять собой овальную фигуру, проходящую через три квадранта плоскости координат.

Используемые программы:

OpenOffice

Система автоматического управления имеет следующую структурную схему

Постройте амплитудно-фазовую частотную характеристику системы и определите по ней указанные в заданиях значения вещественной и мнимой частотных характеристик.

Система автоматического управления имеет следующую структурную схему

Постройте амплитудно-фазовую частотную характеристику системы и определите по ней указанные в заданиях значения вещественной и мнимой частотных характеристик.

Система автоматического управления имеет следующую структурную схему

Постройте амплитудно-фазовую частотную характеристику системы и определите по ней указанные в заданиях значения вещественной и мнимой частотных характеристик.

Система автоматического управления имеет следующую структурную схему

Постройте амплитудно-фазовую частотную характеристику системы и определите по ней указанные в заданиях значения вещественной и мнимой частотных характеристик.

Система автоматического управления имеет следующую структурную схему

Постройте амплитудно-фазовую частотную характеристику системы и определите по ней указанные в заданиях значения вещественной и мнимой частотных характеристик.

Структурной схемой в теории автоматического управления называется представление САУ в виде совокупности динамических звеньев.

Звенья в структурных схемах могут соединяться между собой: а)- последовательно, б)-параллельно и в)- встречно по схеме с обратной связью.

а)

б)

в)

1. Передаточная функция цепочки последовательно соединенных звеньев равна произведению их передаточных функций:

2. Передаточная функция группы параллельно соединенных звеньев равна сумме их передаточных функций:

3. Передаточная функция группы звенев, соединенных по схеме с обратной связью, определяется как отношение передаточной функции прямой цепи к выражению – единица минус (для положительной обратной связи) или плюс (для отрицательной обратной связи) – передаточная функция разомкнутой цепи.

W(p)=Wпр(p)/[1± Wос(p) Wпр(p)]

W(jw) может быть изображена в виде годографа на комплексной плоскости в прямоугольной системе координат.

Для построения годографа W(jw) необходимо задаться рядом дискретных значений частоты w в диапазоне от 0 до ¥ и определить соответствующие им значения U(w) и V(w), которые являются координатами на комплексной плоскости. Линия, проведенная через полученные точки, представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) системы.

Для получения частотной характеристики частоту достаточно изменять в диапазоне от 0 до ¥, так как при изменении частоты от 0 до (-¥) получается зеркально отраженная аналогичная характеристика.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика интегрирующего звена определяется выражением:

W(jw)=k/jw=-jk/w (после умножения числителя и знаменателя на j)

В этом случае U(w)=0,

V(w)=-k/w.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика апериодического звена определяется выражением:

W(jw)=k/(1+jTw)=(k-jkTw)/(1+T2w2) (после умножения числителя и знаменателя на 1-jTw).

В этом случае U(w)=k/(1+T2w2),

V(w)=-kTw/(1+T2w2).

Амплитудно-фазовая частотная характеристика колебательного звена определяется выражением:

W(jw)=k/[1+2xTjw+Т2(jw)2]=k/[(1-T2w2)+j2xTw]=[k(1-T2w2)-jk2xTw]/[(1-T2w2)2+(2xTw)2] (после умножения числителя и знаменателя на (1-T2w2)-j2xTw).

В этом случае U(w)=k(1-T2w2)/[(1-T2w2)2+(2xTw)2],

V(w)=-k2xTw]/[(1-T2w2)2+(2xTw)2].

Частотные характеристики описывают вынужденные установившиеся колебания на выходе системы или звена, вызванные типовым гармоническим воздействием на входе, и характеризуют частотные свойства системы.

Основой для получения всех частотных характеристик является частотная передаточная функция W(jw), получаемая из обычной передаточной функции

подстановкой p=jw:

После разделения этого выражения на вещественную и мнимую части оно принимает вид:

W(jw)=U(w)+jV(w),

где: функция U(w) – называется вещественной частотной характеристикой, а функция V(w) – мнимой частотной характеристикой системы.

1. На панели задач щелкните на кнопке Пуск, откроется меню главное меню. Выполните команды меню Программы – OpenOffice.org Calc, откроется окно приложения OpenOffice.org Calc.

Проведем исследование устойчивости системы автоматического управления со следующей структурной схемой:

Передаточная функция разомкнутого контура представляет произведение входящих в него звеньев. Разорвем замкнутый контур в точке А и с учетом, что передаточная функция обратной связи равна 1 получим:

Wраз(p)=k1k2/( T12p2+2xT1p+1)(T2p+1)

Заменим р на jw и с учетом того, что j2=-1, получим амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутого контура:

Wраз(jw)=k1k2/{[1-(T12+2xT1T2)w2]+jw(2xT1+T2-T12T2w2)}

Избавляемся от мнимых чисел в знаменателе умножением обоих частей дроби на аналогичное знаменателю выражение, в котором перед j стоит знак минус (в знаменателе будет разность квадратов), и получаем:

Wраз(jw)=k1k2[1-(T12+2xT1T2)w2]- j k1k2 w(2xT1+T2-T12T2w2) /{[1-(T12+2xT1T2)w2]2+w2(2xT1+T2-T12T2w2)2}

В результате в выражении для амплитудно-фазовой характеристики разомкнутого контура можно выделить вещественную U(w) и мнимую V(w) частотные характеристики , по которым можно построить АФЧХ и применить к ней критерий Найквиста.

U(w)=k1k2[1-(T12+2xT1T2)w2] /{[1-(T12+2xT1T2)w2]2+w2(2xT1+T2-T12T2w2)2}

V(w)=-k1k2 w(2xT1+T2-T12T2w2) /{[1-(T12+2xT1T2)w2]2+w2(2xT1+T2-T12T2w2)2}

2. В ячейки А1, А2, А3 и А4 введите k1k2=, T1=, x= и T2= соответственно и установите в них выравнивание По правому краю.

Зададим следующие значения параметров системы автоматического управления: произведение коэффициентов передачи звеньев k1k2=10, постоянная времени колебательного звена Т1=1сек., относительный коэффициент затухания x=0,5 и постоянная времени апериодического звена Т2=2 сек.

3. В ячейки В1, В2, В3 и В4 введите 10, 1, 0,5 и 2 соответственно.

4. В ячейки А5, В5 и С5 введите обозначения w, U(w) и V(w) и установите для них шрифт Жирный и расположение Горизонтально по центру

В зависимости от величины частоты w вычислим вещественную U (w) и мнимую V(w) частотные характеристики, по значениям которых построим амплитудно-фазовую частотную характеристику. Для построения АФЧХ нет необходимости вычислять значения U(w) и V(w) во всем диапазоне частот от 0 до ¥, достаточно определить их в диапазоне частот от 0,1/T до 10/T (где Т может быть средним арифметическим от всех постоянных времени системы) и для крайних значений w, равных 0 и, например, 1000000.

5. В ячейку С2 введите формулу: =2/(B2+В4).

6. В ячейку А6 введите 0. В ячейки А7:А16 введите формулы: =0,1*C2; =0,2*C2; =0,3*C2; =0,4*C2; =0,5*C2; =0,6*C2; =0,7*C2; =0,8*C2; =0,9*C2; =C2 соответственно.

7. В ячейки А17:А25 введите формулы: =C2/0,9; =C2/0,8; =C2/0,7; =C2/0,6; =C2/0,5; =C2/0,4; =C2/0,3; =C2/0,2; =C2/0,1 соответственно. В ячейку А26 введите число 1000000.

Для расчета АФЧХ разомкнутого контура используем полученные выше формулы. Для облегчения ввода формул сделаем предварительные вычисления.

8. В ячейку D1 введите формулу: =2*B2*B3+B4

9. В ячейку D2 введите формулу: =B2^2+2*B2*B3*B4

10. В ячейку D3 введите формулу: =B2^2*B4

11. В ячейку В6 введите формулу для вычисления вещественной частотной характеристики:

=$B$1*(1-$D$2*A6^2)/((1-$D$2*A6^2)^2+A6^2*($D$1-$D$3*A6^2)^2)

12. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек В7:В26.

13. В ячейку C6 введите формулу для вычисления мнимой частотной характеристики (формула начинается с минуса):

=-$B$1*A6*($D$1-$D$3*A6^2)/((1-$D$2*A6^2)^2+A6^2*($D$1-$D$3*A6^2)^2)

14. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек С7:С26.

15. Выделите диапазон ячеек В6:С26, нажмите кнопку Диаграмма на панели инструментов Стандартная, на первом шаге Мастера диаграмм выберите Диаграмма XY-Только линии, установите режим Сглаживание линий.. В окне Мастер диаграмм перейдите на шаг 4, включите отображение сетки по обеим осям и отключите показ легенды. Нажмите кнопку Готово - возникнет амплитудно-фазовая частотная характеристика рассматриваемой системы.

Исследуемая система состоит из устойчивых звеньев, поэтому необходимо использовать первое условие критерия Найквиста. Как видно из диаграммы АФЧХ разомкнутого контура охватывает точку с координатами (0;-1), поэтому рассматриваемая система неустойчива в замкнутом состоянии, которое является ее основным, и непригодна для эксплуатации. Как правило, основное влияние на устойчивость оказывает величина общего коэффициента передачи (коэффициента усиления) системы - k1k2. Определим, при каком значении этой величины система будет находиться на границе устойчивости, т.е. кривая АФЧХ пройдет через точку (0;-1). Анализ значений вещественной и мнимой частотных характеристик показывает, то АФЧХ пересекает горизонтальную ось координат при частоте равной 1,225.

16. Введите в ячейку А20 число 1,225. Выделите ячейку В20 и исполните команду меню Сервис-Подбор параметра.

17. В окне диалога в поле Целевое значение введите -1, а в поле Изменяемая яч. введите адрес ячейки В1, нажмите ОК и вставьте результат в ячейку. Должно получиться 3,5.

Заложим определенный запас и выберем для коэффициента передачи системы значение 2.

18. В ячейку В1 введите число 2. Убедитесь, что в этом случае критерий Найквиста выполняется.

Примем полученный вариант устойчивой системы в качестве базового. Проведем исследование влияния на устойчивость значений постоянных времени звеньев, входящих в систему автоматического управления. Запасы устойчивости будем приближенно условно оценивать по величине радиуса окружности с центром в точке (0;-1) касательной к АФЧХ, как это показано ниже. Чем больше радиус, тем больше запасы устойчивости.

19. Приблизительно оцените запас устойчивости базового варианта (должно получиться R»0,35)

20. Введите в ячейку В2 поочередно числа 0,5, 2 и 4 и зафиксируйте полученные при этом запасы устойчивости. Установите в ячейке В2 базовое значение равное 1.

21. Введите в ячейку В4 поочередно числа 0,5, 1 и 4 и зафиксируйте полученные при этом запасы устойчивости. Установите в ячейке В4 базовое значение равное 2.

22. Проведите оценку изменения запасов устойчивости в зависимости от величины постоянных времени элементов системы.

В качестве примера воспользуемся системой автоматического управления рассмотренной выше. Для систем с отрицательной обратной связью передаточная функция имеет вид:

W(p)=Wпр(p)/[1+Woc(p)Wпр(p)]

В рассматриваемом случае Woc(p)=1, поэтому характеристический полином буде иметь вид:

D(l)=( T12l2+2xT1l+1)(T2l+1)+ k1k2= T12T2l3+( T12+2xT1T2) l2+(2xT1+ T2) l+(1+ k1k2)

После замены l на jw получаем:

D(jw)=UD(w)+jVD(w), где:

UD(w)=(1+ k1k2)- (T12+2xT1T2)w2

VD(w)=(2xT1+ T2)w- T12T2w3

Построим годограф Михайлова для рассматриваемой САУ

1. Скопируйте данные из диапазона ячеек A1:D26 в диапазон ячеек A31:D56.

2. Удалите данные из диапазона ячеек В36:С56.

3. Удалите содержание ячейки А56.

4. В ячейку В31 введите число 10.

5. В ячейку В36 введите формулу: =1+$B$31-$D$32*A36^2 и скопируйте ее в диапазон ячеек В37:В55.

6. В ячейку С36 введите формулу: =$D$31*A36-$D$33*A36^3 и скопируйте ее в диапазон ячеек C37:C55.

7. Выделите диапазон ячеек В36:С55, нажмите кнопку Диаграмма на панели инструментов Стандартная, на первом шаге Мастера диаграмм выберите Диаграмма XY-Только линии, установите режим Сглаживание линий. В окне Мастер диаграмм перейдите на шаг 4 и включите отображение сетки по обеим осям. Нажмите кнопку Готово - возникнет годограф Михайлова рассматриваемой системы автоматического управления.

8. Масштаб диаграммы не позволяет применить критерий Михайлова, поэтому необходимо изменить диапазон данных. Щелкните правой кнопкой мыши по диаграмме и в контекстном меню выберите команду Диапазоны данных.

9. В окне диалога на вкладке Диапазон данных нажмите кнопку Выберите диапазон данных, выделите мышью диапазон ячеек В36:С53 и нажмите ОК.

10. Проанализируйте расположение кривой годографа по отношению к началу координат и убедитесь, что критерий Михайлова не выполняется, так как годограф проходит через квадранты в отрицательном направлении, т.е. система неустойчива.

Аналогично изложенному в предыдущей главе определим значение общего коэффициента передачи системы, при котором она будет находиться на границе устойчивости, т.е. годограф Михайлова буде проходить через начало координат. Так как V(w) не зависит от этого коэффициента, то необходимо выбрать значение частоты, при котором V(w) наиболее близка к 0.

11. Проанализируйте данные в таблице и убедитесь, что мнимая частотная характеристика наиболее близка к 0 на частоте равной 1,225.

12. Введите в ячейку А50 число 1,225. Выделите ячейку В50 и исполните команду меню Сервис-Подбор параметра.

13. В окне диалога в поле Целевое значение введите 0, а в поле Изменяемая яч. введите адрес ячейки В31, нажмите ОК и вставьте результат в ячейку. Должно получиться 3,5, т.е. результат совпал с полученным по критерию Найквиста. Проверьте, что годограф на диаграмме проходит через начало координат.

14. Введите в ячейку В31 число 2 и убедитесь что система обладает запасом устойчивости определяемым по величине отрезка между началом координат и точкой пересечения годографом отрицательной вещественной полуоси .

15. Запас устойчивости определяется содержанием ячейки В50. Абсолютное значение числа в этой ячейке должно быть равно 1,5.

Проведем исследование влияния на устойчивость системы величины коэффициента затухания колебательного звена.

16. Введите в ячейку В33 поочередно числа 0,4; 0,6; 0,7 и 0,8 и зафиксируйте полученные при этом запасы устойчивости, повторяя действия пунктов 13, 14 и 15.

17. Проведите анализ изменения запасов устойчивости в зависимости от величины коэффициента затухания колебательного звена системы.

18. Методом проб и ошибок определите значение x, при котором система оказывается на границе устойчивости (запас равен 0).

В 1932 году американский ученый Г.Найквист разработал частотный критерий устойчивости, модернизированный впоследствии А.В.Михайловым.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) замкнутой САУ и АФЧХ ее разомкнутого контура связаны зависимостью

Отсюда следует, что передаточная функция разомкнутого контура WРАЗ(jw) и характеристический полином D(jw) замкнутой передаточной функции WЗАМ(jw) связаны между собой следующим соотношением

Главной отличительной особенностью критерия Найквиста является возможность исследования устойчивости замкнутой САУ по виду амплитудно-фазовой частотной характеристике ее разомкнутого контура, которую строить гораздо проще. Существуют две формулировки критерия Найквиста в зависимости от того, устойчива или неустойчива САУ в разомкнутом состоянии:

1. Если в разомкнутом состоянии САУ устойчива, то для того, чтобы она была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика ее разомкнутого контура не охватывала точку с координатами (-1; j0).

2. Неустойчивая в разомкнутом состоянии САУ в замкнутом состоянии является устойчивой, если число пересечений амплитудно-фазовой частотной характеристики отрицательной вещественной полуоси левее точки (-1; j0) сверху вниз будет на m/2 больше, чем число пересечений снизу вверх (m – число корней характеристического уравнения разомкнутой САУ, расположенных в правой полуплоскости).

В 1938 году А.В.Михайлов предложил частотный критерий исследования устойчивости линейных систем, базирующийся на использовании характеристического полинома САУ. Этот критерий является графоаналитическим методом оценки устойчивости с помощью годографа характеристического вектора – годографа Михайлова.

Подставив в характеристический полином вместо l мнимую переменную jw, получим комплексную функцию:

После возведения переменной jw в соответствующие степени, это выражение можно разбить на вещественную и мнимую части

где:

Задаваясь дискретными значениями w от 0 до ¥, можно вычислить соответствующие им значения UD(w) и VD(w) и по ним на комплексной плоскости построить годограф Михайлова

Критерий Михайлова формулируется следующим образом: для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, при изменении частоты от 0 до ¥, начав свое движение с вещественной положительной полуоси, прошел бы последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки), нигде не обращаясь в нуль, n квадрантов (n – степень характеристического полинома). В последнем квадранте годограф должен уйти в бесконечность.

Критерий Михайлова позволяет судить о запасе устойчивости САУ по степени удаленности точки пересечения годографом отрицательной вещественной полуоси от начала координат. Чем ближе эта точка к началу координат, тем меньший запас устойчивости имеет САУ. При увеличении общего коэффициента передачи САУ годограф Михайлова, не меняя своей формы, смещается вправо. Значение коэффициента передачи, при котором годограф пересечет начало координат, называется критическим, так как система при этом находится на границе устойчивости.

Устойчивостью называется свойство системы автоматического управления возвращаться в исходное состояние после снятия возмущающего воздействия. Устойчивость является основным свойством САУ.

Динамика системы автоматического управления описывается с помощью ее передаточной функции:

Устойчивость САУ определяют корни знаменателя передаточной функции или характеристического полинома.

Если все корни этого полинома лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости, то система устойчива. На практике для анализа устойчивости используются критерии устойчивости, которые позволяют исследовать устойчивость без вычисления корней характеристического уравнения

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии (структурная схема и частотные характеристики в п.1 первого раздела задания для проработки примера) постройте годограф Михайлова при следующих значениях параметров системы:

k1*k2= 5 T1=1,5 T2=1,5 x=0,2

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии (структурная схема и частотные характеристики в п.1 первого раздела задания для проработки примера) постройте годограф Михайлова при следующих значениях параметров системы:

k1*k2=0,5 T1=1 T2= 3 x=0,4

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии (структурная схема и частотные характеристики в п.1 первого раздела задания для проработки примера) постройте годограф Михайлова при следующих значениях параметров системы:

k1*k2=0,6 T1=2 T2= 2 x=0,2

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии (структурная схема и частотные характеристики в п.1 первого раздела задания для проработки примера) постройте годограф Михайлова при следующих значениях параметров системы:

k1*k2=1 T1=2 T2= 4 x=0,3

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии (структурная схема и частотные характеристики в п.1 первого раздела задания для проработки примера) постройте годограф Михайлова при следующих значениях параметров системы:

k1*k2=7 T1=3 T2=4 x=0,6

Используемые программы:

OpenOffice

Алгебраические критерии имеют существенные недостатки, в том числе при использовании на ЭВМ. Эти недостатки полностью исключает безразмерная форма алгебраических критериев устойчивости. Она получается в результате простого алгебраического преобразования, заключающегося в приведении алгебраических характеристик к безразмерному виду. Ввиду однозначной связи между алгебраическими критериями устойчивости рассмотрим получение новой формы алгебраических критериев на примере критерия Гурвица.

Произведем преобразование традиционной формы критерия Гурвица. Воспользуемся одним из основных свойств определителей и вынесем за знак определителя произведение элементов его главной диагонали, разделив элементы в строках (или столбцах) определителя на расположенный в них элемент главной диагонали. В результате получим:

Определитель Dn-1* называется старшим безразмерным определителем Гурвица. Критерий Гурвица не теряет справедливости и при оценке устойчивости по безразмерному определителю Гурвица и его диагональным минорам, так как коэффициенты характеристического полинома должны быть положительны. Представив безразмерный определитель в диагональной форме, нетрудно получить выражения для безразмерных коэффициентов таблицы Рауса.

При проведении расчетов с помощью безразмерной формы критериев удобно использовать следующую характеристику устойчивости САУ (назовем ее коэффициентом устойчивости):

, где: k=1, 2, 3…, n (n-порядок полинома)

При помощи коэффициента устойчивости формулируется дополнительное необходимое условие устойчивости более жесткое, чем положительность коэффициентов характеристического полинома, которое способствует существенному упрощению анализа устойчивости:

0£Mk£1

Чем ближе значение Mk к нулю, тем большими запасами устойчивости обладает система.

Устойчивостью называется способность системы автоматического управления возвращаться в исходное состояние после снятия возмущающего воздействия.

Динамика системы автоматического управления описывается с помощью ее передаточной функции:

Устойчивость САУ определяют корни знаменателя передаточной функции или характеристического полинома.

Если все корни этого полинома лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости, то система устойчива. На практике для анализа устойчивости используются критерии устойчивости, которые позволяют исследовать устойчивость без вычисления корней характеристического уравнения. Алгебраические критерии устойчивости применяются в случае, когда известны значения или выражения для коэффициентов характеристического уравнения:

anln+an-1ln-1+…+a1l+a0=0

В конце XIX века учеными Раусом и Гурвицем независимо друг от друга были предложены неравенства, выполнение которых является необходимым и достаточным условием устойчивости систем с характеристическим полиномом любого порядка.

Гурвиц предложил определять устойчивость по специально составленному определителю, элементами которого являются коэффициенты характеристического полинома. Определитель Гурвица составляется по следующей схеме. По главной диагонали последовательно записываются все коэффициенты характеристического полинома от аn-1 до а0. Строки влево от главной диагонали дополняются коэффициентами с последовательно убывающими индексами, а вправо - с последовательно возрастающими. Вместо коэффициентов с индексами меньше 0 и больше n записываются нули. В результате определитель имеет следующий вид:

Критерий Гурвица формулируется следующим образом: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при положительных коэффициентах характеристического полинома определитель Гурвица и все его диагональные миноры (определители) были положительны. Диагональные миноры отмечены в пунктирными линиями.

Раус предложил определять устойчивость по значениям коэффициентов специально составленной таблицы. В первой и второй строках таблицы Рауса записываются коэффициенты характеристического полинома соответственно: an, an-2, an-4,...и an-1, an-3,... Коэффициенты в остальных строках вычисляются с помощью формул

,

где:

по следующим правилам. Для того, чтобы найти k-й коэффициент i-го ряда таблицы cki, нужно из (k+1)-го коэффициента (i-2)-ой строки (ck+1,i-2) вычесть произведение ri-1 на (k+1)-ый коэффициент (i-1)-ой строки (ck+1,i-1). Множитель ri-1 есть отношение первого коэффициента (i-2)-ой строки (c1,i-2) к первому коэффициенту (i-1)-ой строки (c1,i-1), постоянный для каждой i-ой строки.

Таблица Рауса имеет вид:

Критерий Рауса формулируется следующим образом: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при положительных коэффициентах характеристического полинома все коэффициенты первой графы таблицы Рауса были положительны, т.е: an>0, an-1>0, c13>0, c14>0…..

Часто критерии Рауса и Гурвица не разделяют, так как они по сути представляют одно и то же. Так вычисление значений определителей Гурвица наиболее рационально проводить путем приведения их к диагональной форме. При этом элементами такого определителя становятся коэффициенты таблицы Рауса.

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, вычислите значения характеристик алгебраических критериев (коэффициентов Рауса, определителей Гурвица в классической и безразмерной форме) при следующих значениях параметров системы:

К= 0,3 T1=1 T2=1 x=0,2 T3=1

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, вычислите значения характеристик алгебраических критериев (коэффициентов Рауса, определителей Гурвица в классической и безразмерной форме) при следующих значениях параметров системы:

К= 1,5 T1=2 T2=1 x=0,3 T3=4,1

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, вычислите значения характеристик алгебраических критериев (коэффициентов Рауса, определителей Гурвица в классической и безразмерной форме) при следующих значениях параметров системы:

К= 10 T1=3 T2=0,1 x=0,7 T3=2

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, вычислите значения характеристик алгебраических критериев (коэффициентов Рауса, определителей Гурвица в классической и безразмерной форме) при следующих значениях параметров системы:

К= 2 T1=1,5 T2=0,5 x=0,5 T3=2,7

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, вычислите значения характеристик алгебраических критериев (коэффициентов Рауса, определителей Гурвица в классической и безразмерной форме) при следующих значениях параметров системы:

К= 3 T1=1 T2=2 x=0,4 T3=2

Задание: Провести исследование устойчивости системы автоматического управления (САУ) со следующей структурной схемой:

Передаточная функция этой системы определяется по формуле:

W(p)=Wпр(p)/[1+Wос(p)Wпр(p)],

где: Wпр(p)=K(T1p+1)/p( T22p2+2xT2p+1)(T3p+1), Wос(p)=1

Тогда характеристический полином имеет вид:

D(p)= p( T22p2+2xT2p+1)(T3p+1)+ K(T1p+1)

Делая замену p на l и раскрывая скобки, получаем выражение для характеристического уравнения рассматриваемой системы автоматического управления:

D(l)=a4l4+a3l3+a2l2+a1l+a0=0,

где: a4= T22T3

a3= T22+2xT2T3

a2=2xT2+T3

a1=1+KT1

a0=K

1. На панели задач щелкните на кнопке Пуск, откроется меню главное меню. Выполните команды меню Программы – OpenOffice.org Calc, откроется окно приложения OpenOffice.org Calc.

Для характеристического уравнения четвертого порядка по критерию Гурвица требуется выполнение следующих неравенств:

D1 = a2а3-а1а4>0

D2 = a1a2a3-a0a32-a12a4>0.

Зададим следующие значения параметров системы автоматического управления: коэффициент передачи системы K=1, постоянная времени дифференцирующего звена первого порядка Т1=1 сек., постоянная времени колебательного звена Т2=2сек., относительный коэффициент затухания x=0,5, постоянная времени апериодического звена Т3=4 сек.

2. В диапазоне ячеек А1:А24 установите выравнивание По правому краю и начертание шрифта Жирный.

3. В ячейки А1, А2, А3, А4, A5 введите K=, T1=, T2=, x= и T3= соответственно.

4. В ячейки В1, В2, В3, В4, B5 введите 1, 1, 2, 0,5 и 4 соответственно.

5. В ячейки А7, А8, А9, А10 и А11 введите обозначения а0, a1, a2, a3, a4 соответственно.

6. В ячейку B7 введите формулу: =В1

7. В ячейку B8 введите формулу: =1+B1*B2

8. В ячейку B9 введите формулу: =2*B3*B4+B5

9. В ячейку B10 введите формулу: =B3^2+2*B3*B4*B5

10. В ячейку B11 введите формулу: = B3^2*B5

Для оценки устойчивости САУ воспользуемся полученными выражениями для определителей Гурвица

11. В ячейки А13 и А14 введите обозначения D1=, D2= соответственно.

12. В ячейку В13 введите формулу: = B9*B10 -B8*B11

13. В ячейку В14 введите формулу: =B8*B9*B10-B7*B10^2-B8^2*B11. В ячейках таблицы получится следующий результат.

При данных значениях параметров САУ неустойчива о чем говорит знак минус в ячейке В14 (определители Гурвица должны быть положительны). Определим максимальное значение коэффициента передачи, при котором система будет находиться на границе устойчивости, т.е. определители Гурвица будут положительны или равны нулю.

14. Выделите ячейку В14 и исполните команду меню Сервис-Подбор параметра.

15. В окне диалога введите целевое значение 0, изменяемая ячейка В1, нажмите ОК и вставьте результат в текущую ячейку (должно получиться 0,5). Убедитесь, что в ячейках В13 и В14 находятся числа большие или равные нулю.

Проверим, как работает этот критерий при различных диапазонах значений параметров системы.

16. В диапазоне ячеек С1:G5 установите формат чисел с тремя знаками после запятой и введите в него следующие данные:

17. Выделите диапазон ячеек В7:В14 и скопируйте расположенные в нем формулы в диапазон ячеек С7:G14.

18. Выделите диапазон ячеек F7:G14 и с помощью команды меню Формат-Ячейки установите в нем числовой формат с дробной частью 8 знаков после запятой.

19. С помощью команды меню Формат-Столбец-Оптимальная ширина расширьте ячейки в столбцах F и G.

20. Убедитесь, что во всех случаях кроме варианта в столбце В система неустойчива, так как D2<0.

21. Для каждого из вариантов в столбцах С, D, E, F и G с помощью инструмента Подбор параметра (см. п.п.13 и 14) найдите предельное значение K, при котором система оказывается на границе устойчивости (т.е. значения в ячейках строки 14 равны 0).

22. Проанализируйте полученные значения коэффициента передачи в ячейки C1, D1, E1, F1 и G1. В ячейках F1 и G1 ожидалось получить значения в два раза менее первоначальных, но данные в столбцах F и G не изменились, т.е. поставленная задача не решается. Это связано с тем, что вычисления по критерию Гурвица при малых значениях чисел не могут быть реализованы на ЭВМ из-за ограничений на точность выполнения операций.

Используем для решения той же задачи алгебраический критерий Рауса. Для характеристического уравнения 4-го порядка таблица коэффициентов Рауса имеет следующий вид:

Таким образом условия устойчивости сводятся к двум неравенствам:

с13>0 и c14>0.

1. В ячейки А16 и А17 введите обозначения с13= и с14= соответственно.

2. В ячейку В16 введите формулу: =В9-В8*В11/B10

3. В ячейку В17 введите формулу: =B8-B7*B10/B16

4. Скопируйте эти формулы в диапазон ячеек С16:G17.

5. Убедитесь, что данные в столбцах B, C, D и E подтверждают полученные ранее результаты – система находится на границе устойчивости.

С помощью инструмента Подбор параметра (см. п.п.13 и 14) найдите предельное значение K, при котором система оказывается на границе устойчивости для данных в столбцах F и G.

Решим ту же задачу анализа устойчивости с помощью алгебраического критерия Гурвица в безразмерной форме. В этом случае:

D1*= 1-М2

D2*= 1-M1-M2,

где: М1=а0а3/a1a2, M2=a1a4/a2a3

Очевидно, что условие устойчивости будет иметь вид:

1-M1-M2>0

1. В ячейки А19, А20 и А21 введите обозначения М1=, М2= и D2*= соответственно.

2. В ячейку В19 введите формулу: =В7*В10/(В8*В9)

3. В ячейку В20 введите формулу: =B8*B11/(B9*B10)

4. В ячейку В21 введите формулу: =1-B19-B20

5. Скопируйте эти формулы в диапазон ячеек С19:G21.

6. Убедитесь, что данные в строке 21 подтверждают полученные ранее результаты – система находится на границе устойчивости и безразмерный определитель равен 0. Отметьте, что числа, полученные по безразмерному критерию Гурвица, одинаковые для всех рассматриваемых случаев.

Выберем значения коэффициента передачи таким образом, чтобы САУ была устойчивой, обеспечив, например, 20-процентный запас по его величине и сравним полученные результаты.

7. В ячейки B1, C1, D1, E1, F1 и G1 введите 0,4; 0,004; 0,04; 4; 40 и 400 соответственно.

8. Убедитесь, что данные в строках 13 и 14 показывают только то, что система устойчива. Данные в строках 16 и 17 показывают то же самое, а результат в ячейке G13 говорит, что система находится на границе устойчивости, что не соответствует действительности. Данные в строке 21, помимо подтверждения факта устойчивости, говорят, что во всех рассматриваемых случаях система обладает одинаковым запасом устойчивости.

Проведем исследование влияния значений параметров САУ на ее устойчивость. Будем использовать критерий Гурвица в безразмерной форме, так как он всегда дает достоверный результат при расчетах на ЭВМ. Для первого варианта значений параметров системы определим их предельные величины, при которых система попадает на границу устойчивости.

9. В ячейку Н1 введите 0,5 – это значение коэффициента передачи, при котором система оказывается на границе устойчивости.

10. Выделите ячейку В21 и с помощью инструмента Подбор параметра поочередно определите, не вставляя их в текущую ячейку, предельные значения остальных параметров системы (в ячейках В2, В3, В4 и В5), при которых число в ячейке В21 будет равно 0. Запомните полученные результаты и введите их соответственно в ячейки Н2, Н3, Н4 и Н5 (Для данных в ячейке В5 программа не найдет предельного значения, поэтому можно сделать вывод, что величина постоянной времени Т3 не влияет на устойчивость системы).

11. Определите запас по каждому параметру в виде допуска или допустимого разброса величины в процентах, для чего в ячейку I1 введите формулу: =(В1-Н1)/В1.

12. Скопируйте эту формулу в ячейки I2, I3 и I4 и установите в ячейках столбца I процентный формат данных. Анализ полученных данных показывает, что наиболее критичным оказалось значение постоянной времени Т2 (знак допуска говорит о возможности увеличения или уменьшения значения параметра).

13. Сохраните полученные результаты

Используемые программы:

OpenOffice

Укажите соответствие между значениями коэффициента устойчивости

и безразмерного определителя Гурвица с одной стороны и состоянием системы автоматического управления с другой

1. На панели задач щелкните на кнопке Пуск, откроется меню главное меню. Выполните команды меню Программы – OpenOffice.org Calc, откроется окно приложения OpenOffice.org Calc.

Проведем анализ качества переходных процессов в системе автоматического управления со следующей структурной схемой:

Передаточная функция этой системы определяется по формуле:

W(p)=Wпр(p)/[1+Wос(p)Wпр(p)],

где: Wпр(p)= k1k2/( T12p2+2xT1p+1)(T2p+1), Wос(p)=1

С учетом этого, после подстановки р=jw получаем выражение для амплитудно-частотной характеристики системы:

W(jw)=k1k2[1+ k1k2-(T12+2xT1T2)w2]- j k1k2 w(2xT1+T2-T12T2w2) /{[1+ k1k2- (T12+2xT1T2)w2]2+w2(2xT1+T2-T12T2w2)2= U(w)+jV(w),

где: U(w)=k1k2[1+ k1k2-(T12+2xT1T2)w2] /{[1+ k1k2-(T12+2xT1T2)w2]2+w2(2xT1+T2-T12T2w2)2}

V(w)=-k1k2 w(2xT1+T2-T12T2w2) /{[1+ k1k2-(T12+2xT1T2)w2]2+w2(2xT1+T2-T12T2w2)2}

Зададим следующие значения параметров системы автоматического управления: произведение коэффициентов передачи звеньев k1*k2=2, постоянная времени колебательного звена Т1=1сек., относительный коэффициент затухания x=0,6 и постоянная времени апериодического звена Т2=2 сек.

2. В ячейки А1, А2, А3 и А4 введите k1k2=, T1=, x= и T2= соответственно и установите в них выравнивание По правому краю.

3. В ячейки В1, В2, В3 и В4 введите 2, 1, 0,6 и 2 соответственно.

4. В ячейки А5 и В5 введите обозначения w, U(w) и установите для них шрифт Жирный и расположение Горизонтально по центру

В зависимости от величины частоты w вычислим значения вещественной частотной характеристики U (w), по которым построим ее кривую. Для построения ВЧХ нет необходимости вычислять значения U(w) во всем диапазоне частот от 0 до ¥, достаточно определить их в диапазоне частот от 0,1/T до 10/T (где Т может быть средним арифметическим от всех постоянных времени системы) и для значения w, равного 0.

5. В ячейку С2 введите формулу: =2/(B2+В4).

6. В ячейку А6 введите 0. В ячейки А7:А16 введите формулы: =0,1*C2; =0,2*C2; =0,3*C2; =0,4*C2; =0,5*C2; =0,6*C2; =0,7*C2; =0,8*C2; =0,9*C2; =C2 соответственно.

7. В ячейки А17:А25 введите формулы: =C2/0,9; =C2/0,8; =C2/0,7; =C2/0,6; =C2/0,5; =C2/0,4; =C2/0,3; =C2/0,2; =C2/0,1 соответственно.

8. Для расчета ВЧХ используем полученные выше формулы. Для облегчения ввода формул сделаем предварительные вычисления.

9. В ячейку D1 введите формулу: =2*B2*B3+B4

10. В ячейку D2 введите формулу: =B2^2+2*B2*B3*B4

11. В ячейку D3 введите формулу: =B2^2*B4

12. В ячейку В6 введите формулу для вычисления вещественной частотной характеристики:

=$B$1*(1+$B$1-$D$2*A6^2)/((1+$B$1-$D$2*A6^2)^2+A6^2*($D$1-$D$3*A6^2)^2)

13. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек В7:В25.

14. Выделите диапазон ячеек А6:В25, нажмите кнопку Диаграмма на панели инструментов Стандартная, на первом шаге Мастера диаграмм выберите Диаграмма XY-Только линии. В окне Мастер диаграмм перейдите на шаг 4, включите отображение сетки по обеим осям и отключите показ легенды. Нажмите кнопку Готово - возникнет вещественная частотная характеристика рассматриваемой системы. Увеличьте размер диаграммы по горизонтали.

15. Определите по построенной вещественной частотной характеристике величину перерегулирования и длительность переходного процесса. Для этого в ячейку D25 введите максимальное значение ВЧХ (в рассматриваемом случае оно равно 0,67), а в ячейку Е25 введите значение ВЧХ при w=0 (в рассматриваемом случае оно равно 0,67). В ячейку F25 введите формулу =D25/E25, должно получиться 1. Из таблицы, приведенной в теоретической части занятия, следует, что значение перерегулирования - s равно 20%. В ячейку F26 введите текст: s=20%.

16. Найдите значение частоты, при которой ВЧХ пересекает ось частот и становится отрицательной, для чего скопируйте формулу из ячейки В25 в ячейку В26. В ячейку А26 введите любое значение частоты, на которой ВЧХ положительна. Сделайте активной ячейку В25 и выполните команду меню Сервис-Подбор параметра. В окне диалога в поле Целевое значение введите 0, в поле Изменяемая яч. введите адрес А26 и нажмите ОК. Вставьте результат в ячейку А26 (должно получиться 0,94).

Рассчитайте время переходного процесса по интервалу положительности w+ (см. теоретическую часть), для чего в ячейку G25 введите формулу =12,56/A26 (должно получиться 13,37). В ячейку G26 введите текст: tп³13,37сек.

1. Скопируйте содержание диапазона ячеек А1:D25 в диапазон ячеек А31:D55

2. Проверьте, чтобы в ячейках В31, В32, В33 и В34 были бы введены числа 2, 1, 0,6 и 2 соответственно.

3. В ячейки С35 и D35 введите обозначения V(w) и A(w) и установите для них шрифт Жирный и расположение Горизонтально по центру

Рассчитаем значения U(w), V(w) и A(w)

4. В ячейку В36 введите формулу:

=$B$31*(1+$B$31-$D$32*A6^2)/((1+$B$31-$D$32*A6^2)^2+A6^2*($D$31-$D$33*A6^2)^2)

5. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек В37:В55

6. В ячейку С36 введите формулу:

=-$B$31*A36*($D$31-$D$33*A36^2)/((1+$B$31-$D$32*A36^2)^2+A36^2*($D$31- $D$33*A36^2)^2)

7. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек С37:С55.

8. В ячейку D36 введите формулу: =SQRT(B36^2+C36^2)

9. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек D37:D55

10. При нажатой кнопке CTRL выделите диапазоны ячеек В35:B55 и D35:D55, нажмите кнопку Диаграмма на панели инструментов Стандартная, в окне Мастер диаграмм выберите Диаграмма XY-Только линии. В окне Мастер диаграмм перейдите на шаг 4, включите отображение сетки по обеим осям и отключите показ легенды. Нажмите кнопку Готово - возникнет амплитудная частотная характеристика рассматриваемой системы. Увеличьте размер диаграммы по горизонтали.

17. Определите по построенной амплитудной частотной характеристике величину показателя колебательности, времени достижения первого максимума, длительности переходного процесса и полосы пропускания. Рассчитайте значение показателя колебательности – М, для этого скопируйте формулы из ячеек B55, C55 и D55 в ячейки B56, C56 и D56 соответственно, а в ячейку А56 введите число 0,95. Изменяя значение в ячейке А56 с шагом 0,01, определите максимальное значение АЧХ в ячейке D56 (примерно должно получиться 1,864332 на частоте 1,01, которая является резонансной). В ячейку А58 введите формулу =D57/D36 (см. теоретическую часть), должно получиться 2,38. В ячейку А60 введите текст: М=2,38, а в ячейку В60 введите текст: wр=1,01.

18. Определите время достижения первого максимума переходного процесса для чего в ячейку С58 введите формулу =3,14/A56 (должно получиться 3,11). В ячейку С60 введите текст: tм =3,08 сек.

19. Определите длительность переходного процесса для чего в ячейку D58 введите формулу =12,56/A56 (должно получиться 12,44). В ячейку D60 введите текст: tп»12,44сек.

20. Определите полосу пропускания системы для чего в ячейку Е58 введите формулу =0,707*D36. (должно получиться 0,47). В ячейку А56 введите значение частоты, на которой значение АЧХ заведомо меньше, чем 0,47, например, 2. Сделайте активной ячейку D56 и выполните команду меню Сервис-Подбор параметра. В окне диалога в поле Целевое значение введите 0,47, в поле Изменяемая яч. введите адрес А56 и нажмите ОК. Вставьте результат в ячейку А56 (должно получиться 1,44). В ячейку Е60 введите текст: wпп =1,44.

21. Сохраните результаты работы.

В частотном методе анализа косвенными характеристиками качества являются вещественная частотная характеристика (ВЧХ) и амплитудная частотная характеристика (АЧХ) системы автоматического управления (САУ). К частотным критериям качества относятся показатель колебательности, резонансная частота, полоса пропускания, перерегулирование и др. Частотный метод оценки качества справедлив для минимально-фазовых систем – систем, у которых при одинаковых амплитудных частотных характеристиках фазовые частотные характеристики имеют минимальные значения по модулю.

Перерегулирование и длительность переходной характеристики можно приближенно оценить по вещественной частотной характеристике замкнутой САУ. На рисунке приведены различные виды ВЧХ.

U(w)

Umax(w)

3

U(0)

2

1

0,2 U(0)

4

0 w

w+

В таблице для кривых U(w) приведены примерные значения перерегулирования -s в зависимости от величины отношения Umax(w)/U(0)

Длительность переходного процесса приближенно можно определить по величине частотного диапазона, при котором ВЧХ будет оставаться положительной (кривая 4) или пока она не станет меньше значения 0,2 U(0) (кривые 1,2 и 3). Этот частотный диапазон w+ называется интервалом положительности и определяет длительность переходного процесса по формуле

(K»4)

Для оценки качества регулирования часто используется амплитудная частотная характеристика САУ.

A(w)

Amax(w)

A(0)

0,707A(0)

w

wР wП

По АЧХ замкнутой САУ можно оценить колебательность системы по показателю колебательности М, численно равному отношению максимального значения АЧХ к ее значению при w=0.

M=Amax(w)/A(0)

Чем больше значение показателя М, тем сильнее колебательность системы и тем больше длительность переходного процесса. Качество переходных процессов считается удовлетворительным, если М=1,1-1,5. При таком значении показателя М переходная характеристика имеет слабую колебательность с частотой, близкой к резонансной частоте wР (рис.4.11), которая также является критерием или показателем качества. На этой частоте гармонические колебания проходят через систему с наибольшим усилением.

Резонансная частота wР позволяет приблизительно определить время достижения первого максимума tМ

и длительность переходного процесса, при предположении, что за это время в системе происходят 1–2 колебания

Интервал частот, при котором выполняется условие

называется полосой пропускания частот замкнутой САУ - wпп. Она связана с длительностью переходного процесса обратной зависимостью: чем шире полоса пропускания системы, тем меньшую длительность имеет переходной процесс, и наоборот. Чем более инерционна САУ, тем уже будет ее полоса пропускания, и тем ближе она по своим свойствам к фильтру низких частот. Такая система является более точной, поскольку она хорошо пропускает информационные, как правило, низкочастотные сигналы и не пропускает (задерживает) высокочастотные помехи.

Частотные характеристики описывают вынужденные установившиеся колебания на выходе системы или звена, вызванные типовым гармоническим воздействием на входе, и характеризуют частотные свойства системы. Основой для получения всех частотных характеристик является частотная передаточная функция W(jw), получаемая из обычной передаточной функции подстановкой p=jw:

После разделения этого выражения на вещественную и мнимую части оно принимает вид:

W(jw)=U(w)+jV(w),

где: функция U(w) – называется вещественной частотной характеристикой, а функция V(w) – мнимой частотной характеристикой системы.

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:

где:

Модуль½W(jw)½= A(w) - называется амплитудной частотной характеристикой, а j(w) – фазовой частотной характеристикой.

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, постройте вещественную и амплитудную частотные характеристики при следующих параметрах:

k1*k2= 1, T1=2, x=0,5, T2=1

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, постройте вещественную и амплитудную частотные характеристики при следующих параметрах:

k1*k2= 2, T1=0,5, x=0,6, T2=2

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, постройте вещественную и амплитудную частотные характеристики при следующих параметрах:

k1*k2= 2, T1=1, x=0,6, T2=1

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, постройте вещественную и амплитудную частотные характеристики при следующих параметрах:

k1*k2= 2, T1=1, x=0,8, T2=2

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, постройте вещественную и амплитудную частотные характеристики при следующих параметрах:

k1*k2=0,6, T1=1, x=0,6, T2=2

Используемые программы:

OpenOffice