Демо (html) Основы теории управления

1. В ячейку А2 введите текст: x =, в ячейки Е1 и Е2 введите 1 и 0,5 соответственно.

2. В ячейку Е3 введите формулу =SQRT(1-E$2^2)/

3. В ячейку Е4 введите текст: h(t)кол1/0,5.

Для расчета переходной характеристики колебательного звена используем формулу, приведенную в таблице 1 теоретической части.

4. В ячейку Е5 введите формулу:

=1-SIN(E$3*$A5/E$1+ATAN(E$3/E$2))*EXP(-E$2*$A5/E$1)/E$3

5. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек Е6:Е55

14. Выделите два диапазона ячеек А4:А55 и Е4:Е55 и постройте диаграмму аналогично изложенному в п.7 предыдущего раздела. Возникнет кривая переходной характеристики колебательного звена с постоянной времени Т=1с. и относительным коэффициентом затухания x=0,5.

6. Переместите новую диаграмму в правую часть листа, расположив ее под первой диаграммой.

Переходная характеристика колебательного звена отличается от переходной характеристики апериодического звена наличием колебаний около установившегося значения. Проведем исследование влияния значений Т и x на вид переходной характеристики.

7. В ячейки F1, G1 и H1 введите числа 0,5; 1 и 1соответственно.

8. В ячейки F2, G2 и H2 введите числа 0,5; 0,9 и 0,2 соответственно.

9. Скопируйте формулу из ячейки Е3 в ячейки F3, G3 и H3.

10. В ячейки F4, G4 и H4 введите текст: h(t)кол0,5/0,5; h(t)кол1/0,9 и h(t)кол1/0,2 соответственно.

11. Скопируйте формулу из ячейки Е5 в диапазон ячеек F5:H55.

12. Аналогично изложенному выше (п.п.11-13 предыдущего задания) постройте на второй диаграмме четыре переходных характеристики колебательного звена.

Выше рассматривались переходные характеристики устойчивых звеньев. Посмотрим, как выглядит переходная характеристика, если звено или система находится на грани устойчивости или неустойчива.

13. В ячейку Н2 введите число: 0,001, на диаграмме возникнет переходная характеристика звена, находящегося на грани устойчивости (переходной процесс близок к автоколебаниям с постоянной амплитудой).

14. В ячейку Н2 введите отрицательное число: -0,5, на диаграмме возникнет переходная характеристика неустойчивого звена (переходной процесс расходится).

Используемые программы:

OpenOffice

Качество работы или просто качество САУ оценивается с помощью показателей, характеризующих ее поведение в статических и динамических режимах. Оценка качества системы заключаются в анализе ее переходных процессов.

Наиболее точно качество САУ можно оценить по ее переходной характеристике, являющейся реакцией системы на единичное ступенчатое воздействие. На рисунке приведен колебательный переходной процесс, который содержит показатели поведения САУ во всех режимах.

Переходной процесс стремится к установившемуся значению – уУСТ., которое представляет собой статическое отклонение регулируемой величины от заданной и характеризует точность системы.

К прямым показателям качества относятся следующие:

1. Вид переходного процесса – характер изменения переходной характеристики. Он может быть колебательным или апериодическим (плавным)

2. Длительность переходного процесса tП – время, в течение которого отклонение выходной величины от установившегося значения (y(t)=yУСТ при t®¥) станет меньше наперед заданной величины Dy. На практике величина «трубки», в которую входит переходная характеристика обычно задается равной Dy=0,05 yУСТ.

3. Перерегулирование s – отношение разности между максимальным и установившимся значениями переходного процесса к установившемуся значению в процентах. Оно характеризует максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения

В технических системах допустимым считается перерегулирование до 30%, однако, в некоторых случаях перерегулирование вообще не допускается.

4. Колебательность N – число полных колебаний переходной характеристики за время длительности переходного процесса tП.

5. Частота колебаний wК – определяется периодом колебаний переходной характеристики t

wК=2p/t

6. Декремент затухания d – характеризует интенсивность затухания переходной характеристики

7. Время достижения переходной характеристикой первого максимума - tM.

8. Время нарастания переходной характеристики - tН.

9. Точность переходного процесса Dh - величина установившегося отклонения переходной характеристики от заданного значения

Dh=h(t)-1(t) при t®¥.

Передаточная функция системы автоматического управления представляет собой колебательное звено:

=0,5/(0,49p2+0,7p+1)

На вход системы подается единичное ступенчатое воздействие. На выходе системы наблюдается реакция в виде переходной характеристики. Постройте график переходной характеристики и определите по нему указанные в заданиях значения показателей качества.

Передаточная функция системы автоматического управления представляет собой колебательное звено:

=2/(64p2+9,6p+1)

На вход системы подается единичное ступенчатое воздействие. На выходе системы наблюдается реакция в виде переходной характеристики. Постройте график переходной характеристики и определите по нему указанные в заданиях значения показателей качества.

Передаточная функция системы автоматического управления представляет собой колебательное звено:

=3/(0,36р2+0,48р+1)

На вход системы подается единичное ступенчатое воздействие. На выходе системы наблюдается реакция в виде переходной характеристики. Постройте график переходной характеристики и определите по нему указанные в заданиях значения показателей качества.

Передаточная функция системы автоматического управления представляет собой колебательное звено:

=4/(0,16p2+0,2p+1)

На вход системы подается единичное ступенчатое воздействие. На выходе системы наблюдается реакция в виде переходной характеристики. Постройте график переходной характеристики и определите по нему указанные в заданиях значения показателей качества.

Передаточная функция системы автоматического управления представляет собой колебательное звено:

=5/(0,09р2+0,12р+1)

На вход системы подается единичное ступенчатое воздействие. На выходе системы наблюдается реакция в виде переходной характеристики. Постройте график переходной характеристики и определите по нему указанные в заданиях значения показателей качества.

1. В ячейку А31 введите выражение для передаточной функции колебательного звена: W(p)=k/(T^2p^2+2xTp+1)

Зададим значения коэффициента передачи k, постоянной времени Т и коэффициента затухания x колебательного звена.

2. Скопируйте содержание диапазона ячеек С1:D3 в диапазон ячеек С31:D33

3. В ячейку D31 введите число 5, а в ячейку D32 число 2.

4. В ячейку F31 введите x =, а в ячейку G31 введите число 0,4. В ячейке F31 установите выравнивание текста По правому краю.

5. Скопируйте содержание диапазона ячеек А4:С4 в диапазон ячеек А34:С34.

6. Скопируйте содержание диапазона ячеек А5:А25 в диапазон ячеек А35:А55.

Для расчета АФЧХ колебательного звена используем формулу, приведенную в теоретическом разделе.

7. В ячейку В35 введите формулу:

=$D$31*(1-($D$32*A35)^2)/((1-($D$32*A35)^2)^2+(2*$G$31*$D$32*A35)^2)

8. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек В36:В55.

9. В ячейку С35 введите формулу:

= -2*$D $31*$G$31*$D$32*A35/((1-($D$32*A35)^2)^2+(2*$G$31*$D$32*A35)^2)

10. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек C36:C55.

11. Выделите диапазон ячеек В35:С55, нажмите кнопку Диаграмма на панели инструментов Стандартная, в окне Мастер диаграмм выберите Диаграмма XY-Только линии, установите режим Сглаживание линий и нажмите Готово. Возникнет амплитудно-фазовая частотная характеристика колебательного звена с постоянной времени равной 2 с., коэффициентом передачи равным 5 и относительным коэффициентом затухания равным 0,4.

12. Измените размер диаграммы так, чтобы масштаб значений по вертикальной и горизонтальной осям был бы одинаковым. АФЧХ колебательного звена должно представлять собой овальную фигуру, расположенную под горизонтальной осью. АФЧХ при изменении частоты от 0 до ¥ проходит через два квадранта плоскости координат.

13. Проведите исследование влияния параметров колебательного звена на форму и расположение ее АФЧХ. Задавая указанные в таблице значения параметров, постройте АФЧХ колебательного звена.

Таблица

14. Определите какие параметры колебательного звена определяют значение АФЧХ при нулевой частоте и значение АФЧХ при пересечении отрицательной части мнимой (вертикальной) оси.

Используемые программы:

OpenOffice

Система автоматического управления имеет следующую структурную схему

Постройте амплитудно-фазовую частотную характеристику системы и определите по ней указанные в заданиях значения вещественной и мнимой частотных характеристик.

Система автоматического управления имеет следующую структурную схему

Постройте амплитудно-фазовую частотную характеристику системы и определите по ней указанные в заданиях значения вещественной и мнимой частотных характеристик.

Система автоматического управления имеет следующую структурную схему

Постройте амплитудно-фазовую частотную характеристику системы и определите по ней указанные в заданиях значения вещественной и мнимой частотных характеристик.

Система автоматического управления имеет следующую структурную схему

Постройте амплитудно-фазовую частотную характеристику системы и определите по ней указанные в заданиях значения вещественной и мнимой частотных характеристик.

Система автоматического управления имеет следующую структурную схему

Постройте амплитудно-фазовую частотную характеристику системы и определите по ней указанные в заданиях значения вещественной и мнимой частотных характеристик.

Структурной схемой в теории автоматического управления называется представление САУ в виде совокупности динамических звеньев.

Звенья в структурных схемах могут соединяться между собой: а)- последовательно, б)-параллельно и в)- встречно по схеме с обратной связью.

а)

б)

в)

1. Передаточная функция цепочки последовательно соединенных звеньев равна произведению их передаточных функций:

2. Передаточная функция группы параллельно соединенных звеньев равна сумме их передаточных функций:

3. Передаточная функция группы звенев, соединенных по схеме с обратной связью, определяется как отношение передаточной функции прямой цепи к выражению – единица минус (для положительной обратной связи) или плюс (для отрицательной обратной связи) – передаточная функция разомкнутой цепи.

W(p)=Wпр(p)/[1± Wос(p) Wпр(p)]

1. На панели задач щелкните на кнопке Пуск, откроется меню главное меню. Выполните команды меню Программы – OpenOffice.org Calc, откроется окно приложения OpenOffice.org Calc.

Проведем исследование устойчивости системы автоматического управления со следующей структурной схемой:

Передаточная функция разомкнутого контура представляет произведение входящих в него звеньев. Разорвем замкнутый контур в точке А и с учетом, что передаточная функция обратной связи равна 1 получим:

Wраз(p)=k1k2/( T12p2+2xT1p+1)(T2p+1)

Заменим р на jw и с учетом того, что j2=-1, получим амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутого контура:

Wраз(jw)=k1k2/{[1-(T12+2xT1T2)w2]+jw(2xT1+T2-T12T2w2)}

Избавляемся от мнимых чисел в знаменателе умножением обоих частей дроби на аналогичное знаменателю выражение, в котором перед j стоит знак минус (в знаменателе будет разность квадратов), и получаем:

Wраз(jw)=k1k2[1-(T12+2xT1T2)w2]- j k1k2 w(2xT1+T2-T12T2w2) /{[1-(T12+2xT1T2)w2]2+w2(2xT1+T2-T12T2w2)2}

В результате в выражении для амплитудно-фазовой характеристики разомкнутого контура можно выделить вещественную U(w) и мнимую V(w) частотные характеристики , по которым можно построить АФЧХ и применить к ней критерий Найквиста.

U(w)=k1k2[1-(T12+2xT1T2)w2] /{[1-(T12+2xT1T2)w2]2+w2(2xT1+T2-T12T2w2)2}

V(w)=-k1k2 w(2xT1+T2-T12T2w2) /{[1-(T12+2xT1T2)w2]2+w2(2xT1+T2-T12T2w2)2}

2. В ячейки А1, А2, А3 и А4 введите k1k2=, T1=, x= и T2= соответственно и установите в них выравнивание По правому краю.

Зададим следующие значения параметров системы автоматического управления: произведение коэффициентов передачи звеньев k1k2=10, постоянная времени колебательного звена Т1=1сек., относительный коэффициент затухания x=0,5 и постоянная времени апериодического звена Т2=2 сек.

3. В ячейки В1, В2, В3 и В4 введите 10, 1, 0,5 и 2 соответственно.

4. В ячейки А5, В5 и С5 введите обозначения w, U(w) и V(w) и установите для них шрифт Жирный и расположение Горизонтально по центру

В зависимости от величины частоты w вычислим вещественную U (w) и мнимую V(w) частотные характеристики, по значениям которых построим амплитудно-фазовую частотную характеристику. Для построения АФЧХ нет необходимости вычислять значения U(w) и V(w) во всем диапазоне частот от 0 до ¥, достаточно определить их в диапазоне частот от 0,1/T до 10/T (где Т может быть средним арифметическим от всех постоянных времени системы) и для крайних значений w, равных 0 и, например, 1000000.

5. В ячейку С2 введите формулу: =2/(B2+В4).

6. В ячейку А6 введите 0. В ячейки А7:А16 введите формулы: =0,1*C2; =0,2*C2; =0,3*C2; =0,4*C2; =0,5*C2; =0,6*C2; =0,7*C2; =0,8*C2; =0,9*C2; =C2 соответственно.

7. В ячейки А17:А25 введите формулы: =C2/0,9; =C2/0,8; =C2/0,7; =C2/0,6; =C2/0,5; =C2/0,4; =C2/0,3; =C2/0,2; =C2/0,1 соответственно. В ячейку А26 введите число 1000000.

Для расчета АФЧХ разомкнутого контура используем полученные выше формулы. Для облегчения ввода формул сделаем предварительные вычисления.

8. В ячейку D1 введите формулу: =2*B2*B3+B4

9. В ячейку D2 введите формулу: =B2^2+2*B2*B3*B4

10. В ячейку D3 введите формулу: =B2^2*B4

11. В ячейку В6 введите формулу для вычисления вещественной частотной характеристики:

=$B$1*(1-$D$2*A6^2)/((1-$D$2*A6^2)^2+A6^2*($D$1-$D$3*A6^2)^2)

12. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек В7:В26.

13. В ячейку C6 введите формулу для вычисления мнимой частотной характеристики (формула начинается с минуса):

=-$B$1*A6*($D$1-$D$3*A6^2)/((1-$D$2*A6^2)^2+A6^2*($D$1-$D$3*A6^2)^2)

14. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек С7:С26.

15. Выделите диапазон ячеек В6:С26, нажмите кнопку Диаграмма на панели инструментов Стандартная, на первом шаге Мастера диаграмм выберите Диаграмма XY-Только линии, установите режим Сглаживание линий.. В окне Мастер диаграмм перейдите на шаг 4, включите отображение сетки по обеим осям и отключите показ легенды. Нажмите кнопку Готово - возникнет амплитудно-фазовая частотная характеристика рассматриваемой системы.

Исследуемая система состоит из устойчивых звеньев, поэтому необходимо использовать первое условие критерия Найквиста. Как видно из диаграммы АФЧХ разомкнутого контура охватывает точку с координатами (0;-1), поэтому рассматриваемая система неустойчива в замкнутом состоянии, которое является ее основным, и непригодна для эксплуатации. Как правило, основное влияние на устойчивость оказывает величина общего коэффициента передачи (коэффициента усиления) системы - k1k2. Определим, при каком значении этой величины система будет находиться на границе устойчивости, т.е. кривая АФЧХ пройдет через точку (0;-1). Анализ значений вещественной и мнимой частотных характеристик показывает, то АФЧХ пересекает горизонтальную ось координат при частоте равной 1,225.

16. Введите в ячейку А20 число 1,225. Выделите ячейку В20 и исполните команду меню Сервис-Подбор параметра.

17. В окне диалога в поле Целевое значение введите -1, а в поле Изменяемая яч. введите адрес ячейки В1, нажмите ОК и вставьте результат в ячейку. Должно получиться 3,5.

Заложим определенный запас и выберем для коэффициента передачи системы значение 2.

18. В ячейку В1 введите число 2. Убедитесь, что в этом случае критерий Найквиста выполняется.

Примем полученный вариант устойчивой системы в качестве базового. Проведем исследование влияния на устойчивость значений постоянных времени звеньев, входящих в систему автоматического управления. Запасы устойчивости будем приближенно условно оценивать по величине радиуса окружности с центром в точке (0;-1) касательной к АФЧХ, как это показано ниже. Чем больше радиус, тем больше запасы устойчивости.

19. Приблизительно оцените запас устойчивости базового варианта (должно получиться R»0,35)

20. Введите в ячейку В2 поочередно числа 0,5, 2 и 4 и зафиксируйте полученные при этом запасы устойчивости. Установите в ячейке В2 базовое значение равное 1.

21. Введите в ячейку В4 поочередно числа 0,5, 1 и 4 и зафиксируйте полученные при этом запасы устойчивости. Установите в ячейке В4 базовое значение равное 2.

22. Проведите оценку изменения запасов устойчивости в зависимости от величины постоянных времени элементов системы.

В 1932 году американский ученый Г.Найквист разработал частотный критерий устойчивости, модернизированный впоследствии А.В.Михайловым.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) замкнутой САУ и АФЧХ ее разомкнутого контура связаны зависимостью

Отсюда следует, что передаточная функция разомкнутого контура WРАЗ(jw) и характеристический полином D(jw) замкнутой передаточной функции WЗАМ(jw) связаны между собой следующим соотношением

Главной отличительной особенностью критерия Найквиста является возможность исследования устойчивости замкнутой САУ по виду амплитудно-фазовой частотной характеристике ее разомкнутого контура, которую строить гораздо проще. Существуют две формулировки критерия Найквиста в зависимости от того, устойчива или неустойчива САУ в разомкнутом состоянии:

1. Если в разомкнутом состоянии САУ устойчива, то для того, чтобы она была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика ее разомкнутого контура не охватывала точку с координатами (-1; j0).

2. Неустойчивая в разомкнутом состоянии САУ в замкнутом состоянии является устойчивой, если число пересечений амплитудно-фазовой частотной характеристики отрицательной вещественной полуоси левее точки (-1; j0) сверху вниз будет на m/2 больше, чем число пересечений снизу вверх (m – число корней характеристического уравнения разомкнутой САУ, расположенных в правой полуплоскости).

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии (структурная схема и частотные характеристики в п.1 первого раздела задания для проработки примера) постройте годограф Михайлова при следующих значениях параметров системы:

k1*k2= 5 T1=1,5 T2=1,5 x=0,2

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии (структурная схема и частотные характеристики в п.1 первого раздела задания для проработки примера) постройте годограф Михайлова при следующих значениях параметров системы:

k1*k2=0,5 T1=1 T2= 3 x=0,4

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии (структурная схема и частотные характеристики в п.1 первого раздела задания для проработки примера) постройте годограф Михайлова при следующих значениях параметров системы:

k1*k2=0,6 T1=2 T2= 2 x=0,2

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии (структурная схема и частотные характеристики в п.1 первого раздела задания для проработки примера) постройте годограф Михайлова при следующих значениях параметров системы:

k1*k2=1 T1=2 T2= 4 x=0,3

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии (структурная схема и частотные характеристики в п.1 первого раздела задания для проработки примера) постройте годограф Михайлова при следующих значениях параметров системы:

k1*k2=7 T1=3 T2=4 x=0,6

Используемые программы:

OpenOffice

Алгебраические критерии имеют существенные недостатки, в том числе при использовании на ЭВМ. Эти недостатки полностью исключает безразмерная форма алгебраических критериев устойчивости. Она получается в результате простого алгебраического преобразования, заключающегося в приведении алгебраических характеристик к безразмерному виду. Ввиду однозначной связи между алгебраическими критериями устойчивости рассмотрим получение новой формы алгебраических критериев на примере критерия Гурвица.

Произведем преобразование традиционной формы критерия Гурвица. Воспользуемся одним из основных свойств определителей и вынесем за знак определителя произведение элементов его главной диагонали, разделив элементы в строках (или столбцах) определителя на расположенный в них элемент главной диагонали. В результате получим:

Определитель Dn-1* называется старшим безразмерным определителем Гурвица. Критерий Гурвица не теряет справедливости и при оценке устойчивости по безразмерному определителю Гурвица и его диагональным минорам, так как коэффициенты характеристического полинома должны быть положительны. Представив безразмерный определитель в диагональной форме, нетрудно получить выражения для безразмерных коэффициентов таблицы Рауса.

При проведении расчетов с помощью безразмерной формы критериев удобно использовать следующую характеристику устойчивости САУ (назовем ее коэффициентом устойчивости):

, где: k=1, 2, 3…, n (n-порядок полинома)

При помощи коэффициента устойчивости формулируется дополнительное необходимое условие устойчивости более жесткое, чем положительность коэффициентов характеристического полинома, которое способствует существенному упрощению анализа устойчивости:

0£Mk£1

Чем ближе значение Mk к нулю, тем большими запасами устойчивости обладает система.

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, вычислите значения характеристик алгебраических критериев (коэффициентов Рауса, определителей Гурвица в классической и безразмерной форме) при следующих значениях параметров системы:

К= 0,3 T1=1 T2=1 x=0,2 T3=1

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, вычислите значения характеристик алгебраических критериев (коэффициентов Рауса, определителей Гурвица в классической и безразмерной форме) при следующих значениях параметров системы:

К= 1,5 T1=2 T2=1 x=0,3 T3=4,1

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, вычислите значения характеристик алгебраических критериев (коэффициентов Рауса, определителей Гурвица в классической и безразмерной форме) при следующих значениях параметров системы:

К= 10 T1=3 T2=0,1 x=0,7 T3=2

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, вычислите значения характеристик алгебраических критериев (коэффициентов Рауса, определителей Гурвица в классической и безразмерной форме) при следующих значениях параметров системы:

К= 2 T1=1,5 T2=0,5 x=0,5 T3=2,7

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, вычислите значения характеристик алгебраических критериев (коэффициентов Рауса, определителей Гурвица в классической и безразмерной форме) при следующих значениях параметров системы:

К= 3 T1=1 T2=2 x=0,4 T3=2

Задание: Провести исследование устойчивости системы автоматического управления (САУ) со следующей структурной схемой:

Передаточная функция этой системы определяется по формуле:

W(p)=Wпр(p)/[1+Wос(p)Wпр(p)],

где: Wпр(p)=K(T1p+1)/p( T22p2+2xT2p+1)(T3p+1), Wос(p)=1

Тогда характеристический полином имеет вид:

D(p)= p( T22p2+2xT2p+1)(T3p+1)+ K(T1p+1)

Делая замену p на l и раскрывая скобки, получаем выражение для характеристического уравнения рассматриваемой системы автоматического управления:

D(l)=a4l4+a3l3+a2l2+a1l+a0=0,

где: a4= T22T3

a3= T22+2xT2T3

a2=2xT2+T3

a1=1+KT1

a0=K

1. На панели задач щелкните на кнопке Пуск, откроется меню главное меню. Выполните команды меню Программы – OpenOffice.org Calc, откроется окно приложения OpenOffice.org Calc.

Для характеристического уравнения четвертого порядка по критерию Гурвица требуется выполнение следующих неравенств:

D1 = a2а3-а1а4>0

D2 = a1a2a3-a0a32-a12a4>0.

Зададим следующие значения параметров системы автоматического управления: коэффициент передачи системы K=1, постоянная времени дифференцирующего звена первого порядка Т1=1 сек., постоянная времени колебательного звена Т2=2сек., относительный коэффициент затухания x=0,5, постоянная времени апериодического звена Т3=4 сек.

2. В диапазоне ячеек А1:А24 установите выравнивание По правому краю и начертание шрифта Жирный.

3. В ячейки А1, А2, А3, А4, A5 введите K=, T1=, T2=, x= и T3= соответственно.

4. В ячейки В1, В2, В3, В4, B5 введите 1, 1, 2, 0,5 и 4 соответственно.

5. В ячейки А7, А8, А9, А10 и А11 введите обозначения а0, a1, a2, a3, a4 соответственно.

6. В ячейку B7 введите формулу: =В1

7. В ячейку B8 введите формулу: =1+B1*B2

8. В ячейку B9 введите формулу: =2*B3*B4+B5

9. В ячейку B10 введите формулу: =B3^2+2*B3*B4*B5

10. В ячейку B11 введите формулу: = B3^2*B5

Для оценки устойчивости САУ воспользуемся полученными выражениями для определителей Гурвица

11. В ячейки А13 и А14 введите обозначения D1=, D2= соответственно.

12. В ячейку В13 введите формулу: = B9*B10 -B8*B11

13. В ячейку В14 введите формулу: =B8*B9*B10-B7*B10^2-B8^2*B11. В ячейках таблицы получится следующий результат.

При данных значениях параметров САУ неустойчива о чем говорит знак минус в ячейке В14 (определители Гурвица должны быть положительны). Определим максимальное значение коэффициента передачи, при котором система будет находиться на границе устойчивости, т.е. определители Гурвица будут положительны или равны нулю.

14. Выделите ячейку В14 и исполните команду меню Сервис-Подбор параметра.

15. В окне диалога введите целевое значение 0, изменяемая ячейка В1, нажмите ОК и вставьте результат в текущую ячейку (должно получиться 0,5). Убедитесь, что в ячейках В13 и В14 находятся числа большие или равные нулю.

Проверим, как работает этот критерий при различных диапазонах значений параметров системы.

16. В диапазоне ячеек С1:G5 установите формат чисел с тремя знаками после запятой и введите в него следующие данные:

17. Выделите диапазон ячеек В7:В14 и скопируйте расположенные в нем формулы в диапазон ячеек С7:G14.

18. Выделите диапазон ячеек F7:G14 и с помощью команды меню Формат-Ячейки установите в нем числовой формат с дробной частью 8 знаков после запятой.

19. С помощью команды меню Формат-Столбец-Оптимальная ширина расширьте ячейки в столбцах F и G.

20. Убедитесь, что во всех случаях кроме варианта в столбце В система неустойчива, так как D2<0.

21. Для каждого из вариантов в столбцах С, D, E, F и G с помощью инструмента Подбор параметра (см. п.п.13 и 14) найдите предельное значение K, при котором система оказывается на границе устойчивости (т.е. значения в ячейках строки 14 равны 0).

22. Проанализируйте полученные значения коэффициента передачи в ячейки C1, D1, E1, F1 и G1. В ячейках F1 и G1 ожидалось получить значения в два раза менее первоначальных, но данные в столбцах F и G не изменились, т.е. поставленная задача не решается. Это связано с тем, что вычисления по критерию Гурвица при малых значениях чисел не могут быть реализованы на ЭВМ из-за ограничений на точность выполнения операций.

Используемые программы:

OpenOffice

1. На панели задач щелкните на кнопке Пуск, откроется меню главное меню. Выполните команды меню Программы – OpenOffice.org Calc, откроется окно приложения OpenOffice.org Calc.

Проведем анализ качества переходных процессов в системе автоматического управления со следующей структурной схемой:

Передаточная функция этой системы определяется по формуле:

W(p)=Wпр(p)/[1+Wос(p)Wпр(p)],

где: Wпр(p)= k1k2/( T12p2+2xT1p+1)(T2p+1), Wос(p)=1

С учетом этого, после подстановки р=jw получаем выражение для амплитудно-частотной характеристики системы:

W(jw)=k1k2[1+ k1k2-(T12+2xT1T2)w2]- j k1k2 w(2xT1+T2-T12T2w2) /{[1+ k1k2- (T12+2xT1T2)w2]2+w2(2xT1+T2-T12T2w2)2= U(w)+jV(w),

где: U(w)=k1k2[1+ k1k2-(T12+2xT1T2)w2] /{[1+ k1k2-(T12+2xT1T2)w2]2+w2(2xT1+T2-T12T2w2)2}

V(w)=-k1k2 w(2xT1+T2-T12T2w2) /{[1+ k1k2-(T12+2xT1T2)w2]2+w2(2xT1+T2-T12T2w2)2}

Зададим следующие значения параметров системы автоматического управления: произведение коэффициентов передачи звеньев k1*k2=2, постоянная времени колебательного звена Т1=1сек., относительный коэффициент затухания x=0,6 и постоянная времени апериодического звена Т2=2 сек.

2. В ячейки А1, А2, А3 и А4 введите k1k2=, T1=, x= и T2= соответственно и установите в них выравнивание По правому краю.

3. В ячейки В1, В2, В3 и В4 введите 2, 1, 0,6 и 2 соответственно.

4. В ячейки А5 и В5 введите обозначения w, U(w) и установите для них шрифт Жирный и расположение Горизонтально по центру

В зависимости от величины частоты w вычислим значения вещественной частотной характеристики U (w), по которым построим ее кривую. Для построения ВЧХ нет необходимости вычислять значения U(w) во всем диапазоне частот от 0 до ¥, достаточно определить их в диапазоне частот от 0,1/T до 10/T (где Т может быть средним арифметическим от всех постоянных времени системы) и для значения w, равного 0.

5. В ячейку С2 введите формулу: =2/(B2+В4).

6. В ячейку А6 введите 0. В ячейки А7:А16 введите формулы: =0,1*C2; =0,2*C2; =0,3*C2; =0,4*C2; =0,5*C2; =0,6*C2; =0,7*C2; =0,8*C2; =0,9*C2; =C2 соответственно.

7. В ячейки А17:А25 введите формулы: =C2/0,9; =C2/0,8; =C2/0,7; =C2/0,6; =C2/0,5; =C2/0,4; =C2/0,3; =C2/0,2; =C2/0,1 соответственно.

8. Для расчета ВЧХ используем полученные выше формулы. Для облегчения ввода формул сделаем предварительные вычисления.

9. В ячейку D1 введите формулу: =2*B2*B3+B4

10. В ячейку D2 введите формулу: =B2^2+2*B2*B3*B4

11. В ячейку D3 введите формулу: =B2^2*B4

12. В ячейку В6 введите формулу для вычисления вещественной частотной характеристики:

=$B$1*(1+$B$1-$D$2*A6^2)/((1+$B$1-$D$2*A6^2)^2+A6^2*($D$1-$D$3*A6^2)^2)

13. Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек В7:В25.

14. Выделите диапазон ячеек А6:В25, нажмите кнопку Диаграмма на панели инструментов Стандартная, на первом шаге Мастера диаграмм выберите Диаграмма XY-Только линии. В окне Мастер диаграмм перейдите на шаг 4, включите отображение сетки по обеим осям и отключите показ легенды. Нажмите кнопку Готово - возникнет вещественная частотная характеристика рассматриваемой системы. Увеличьте размер диаграммы по горизонтали.

15. Определите по построенной вещественной частотной характеристике величину перерегулирования и длительность переходного процесса. Для этого в ячейку D25 введите максимальное значение ВЧХ (в рассматриваемом случае оно равно 0,67), а в ячейку Е25 введите значение ВЧХ при w=0 (в рассматриваемом случае оно равно 0,67). В ячейку F25 введите формулу =D25/E25, должно получиться 1. Из таблицы, приведенной в теоретической части занятия, следует, что значение перерегулирования - s равно 20%. В ячейку F26 введите текст: s=20%.

16. Найдите значение частоты, при которой ВЧХ пересекает ось частот и становится отрицательной, для чего скопируйте формулу из ячейки В25 в ячейку В26. В ячейку А26 введите любое значение частоты, на которой ВЧХ положительна. Сделайте активной ячейку В25 и выполните команду меню Сервис-Подбор параметра. В окне диалога в поле Целевое значение введите 0, в поле Изменяемая яч. введите адрес А26 и нажмите ОК. Вставьте результат в ячейку А26 (должно получиться 0,94).

Рассчитайте время переходного процесса по интервалу положительности w+ (см. теоретическую часть), для чего в ячейку G25 введите формулу =12,56/A26 (должно получиться 13,37). В ячейку G26 введите текст: tп³13,37сек.

В частотном методе анализа косвенными характеристиками качества являются вещественная частотная характеристика (ВЧХ) и амплитудная частотная характеристика (АЧХ) системы автоматического управления (САУ). К частотным критериям качества относятся показатель колебательности, резонансная частота, полоса пропускания, перерегулирование и др. Частотный метод оценки качества справедлив для минимально-фазовых систем – систем, у которых при одинаковых амплитудных частотных характеристиках фазовые частотные характеристики имеют минимальные значения по модулю.

Перерегулирование и длительность переходной характеристики можно приближенно оценить по вещественной частотной характеристике замкнутой САУ. На рисунке приведены различные виды ВЧХ.

U(w)

Umax(w)

3

U(0)

2

1

0,2 U(0)

4

0 w

w+

В таблице для кривых U(w) приведены примерные значения перерегулирования -s в зависимости от величины отношения Umax(w)/U(0)

Длительность переходного процесса приближенно можно определить по величине частотного диапазона, при котором ВЧХ будет оставаться положительной (кривая 4) или пока она не станет меньше значения 0,2 U(0) (кривые 1,2 и 3). Этот частотный диапазон w+ называется интервалом положительности и определяет длительность переходного процесса по формуле

(K»4)

Для оценки качества регулирования часто используется амплитудная частотная характеристика САУ.

A(w)

Amax(w)

A(0)

0,707A(0)

w

wР wП

По АЧХ замкнутой САУ можно оценить колебательность системы по показателю колебательности М, численно равному отношению максимального значения АЧХ к ее значению при w=0.

M=Amax(w)/A(0)

Чем больше значение показателя М, тем сильнее колебательность системы и тем больше длительность переходного процесса. Качество переходных процессов считается удовлетворительным, если М=1,1-1,5. При таком значении показателя М переходная характеристика имеет слабую колебательность с частотой, близкой к резонансной частоте wР (рис.4.11), которая также является критерием или показателем качества. На этой частоте гармонические колебания проходят через систему с наибольшим усилением.

Резонансная частота wР позволяет приблизительно определить время достижения первого максимума tМ

и длительность переходного процесса, при предположении, что за это время в системе происходят 1–2 колебания

Интервал частот, при котором выполняется условие

называется полосой пропускания частот замкнутой САУ - wпп. Она связана с длительностью переходного процесса обратной зависимостью: чем шире полоса пропускания системы, тем меньшую длительность имеет переходной процесс, и наоборот. Чем более инерционна САУ, тем уже будет ее полоса пропускания, и тем ближе она по своим свойствам к фильтру низких частот. Такая система является более точной, поскольку она хорошо пропускает информационные, как правило, низкочастотные сигналы и не пропускает (задерживает) высокочастотные помехи.

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, постройте вещественную и амплитудную частотные характеристики при следующих параметрах:

k1*k2= 1, T1=2, x=0,5, T2=1

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, постройте вещественную и амплитудную частотные характеристики при следующих параметрах:

k1*k2= 2, T1=0,5, x=0,6, T2=2

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, постройте вещественную и амплитудную частотные характеристики при следующих параметрах:

k1*k2= 2, T1=1, x=0,6, T2=1

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, постройте вещественную и амплитудную частотные характеристики при следующих параметрах:

k1*k2= 2, T1=1, x=0,8, T2=2

Для системы автоматического управления, рассмотренной в настоящем занятии, постройте вещественную и амплитудную частотные характеристики при следующих параметрах:

k1*k2=0,6, T1=1, x=0,6, T2=2

Используемые программы:

OpenOffice