Все вопросы к тесту (html) Теоретические основы автоматизированного управления

1. Рассчитайте значения квадратичной зависимости:

2. Рассчитайте сумму квадратов разностей с помощью функции между соответствующими значениями Y(квадр.) и Y(исх.) с помощью функции SUMXMY2:

3. Постройте график квадратичной аппроксимации:

4. Рассчитайте значения линейной зависимости:

5. Рассчитайте сумму квадратов разностей с помощью функции между соответствующими значениями Y(лин.) и Y(исх.) с помощью функции SUMXMY2:

6. Постройте график линейной аппроксимации:

7. Согласно критерию минимизации стандартного отклонения можно утверждать, что квадратичная функция точнее, чем линейная, аппроксимирует исходные данные. Это же можно видеть и на графиках аппроксимации. таким образом, прогнозирующее уравнение имеет вид: .

Выполним прогноз на один, два и три временных интервала времени на основе экстраполяции прогнозирующей функции:

Пусть известна статистика валового выпуска продукции Y (тыс. руб.) некоторого предприятия за 9 лет:

Необходимо провести статистический анализ исходных данных в соответствии с алгоритмом, изложенным выше. Методом наименьших квадратов определить параметры аналитической кривой для линейной и квадратичной аппроксимации исходной ломаной. В соответствии с критерием минимизации стандартного отклонения выбрать наилучшую форму прогнозирующей функции, а затем построить прогноз на один, два и три временных интервала времени.

1. Создайте папку MyWork.

2. Запустите OpenOffice.org Calc. Введите исходные данные:

3. Сохраните таблицу в созданной папке.

4. Постройте график зависимости валового выпуска продукции от времени:

На основе визуального анализа графика делается вывод о форме аналитической кривой, способной наилучшим образом аппроксимировать ломаную на графике. В данном случае это квадратичная функция. Но для подтверждения вывода построим методом наименьших квадратов, кроме квадратичной, еще и линейную функцию.

5. Для определения исходно неизвестных параметров параболы , , согласно методу наименьших квадратов, необходимо решить систему уравнений:

Для решения системы уравнений выполните следующее:

- определите значения , , , , :

- определите суммарные значения по каждому столбцу:

- сформируйте матрицу системы уравнений в виде:

- с помощью функции MINVERSE определите обратную матрицу системы:

- рассчитайте параметры параболы , по формуле , где - столбец искомых коэффициентов, - обратная матрица системы, B – столбец свободных членов, используя функцию расчета произведения массивов MMULT:

- таким образом, прогнозирующее уравнение имеет вид: .

6. Для определения исходно неизвестных параметров линейной функции и согласно методу наименьших квадратов, необходимо решить систему уравнений:

Для решения системы уравнений выполните следующее:

- сформируйте матрицу системы уравнений в виде:

- с помощью функции MINVERSE определите обратную матрицу системы:

- рассчитайте параметры параболы и , где - столбец искомых коэффициентов, - обратная матрица системы, B – столбец свободных членов, используя функцию расчета произведения массивов MMULT:

- таким образом, прогнозирующее уравнение имеет вид: .

Большое значение в прогнозировании имеет выбранный метод, а также прием.

Прием прогнозирования — это одна или несколько математических или логических операций, направленных на получение конкретного результата при прогнозировании. В качестве примеров таких приемов можно назвать сглаживание или выравнивание динамических рядов, расчет средневзвешенного значения величин и т.д.

Метод прогнозирования — это способ исследования объекта прогнозирования, направленный на разработку прогноза. Совокупность специальных правил, приемов и методов составляет методику прогнозирования.

К наиболее распространенным методам прогнозирования относятся: экстраполяция, нормативные расчеты, в том числе интерполяция, экспертные оценки, аналогия, математическое моделирование.

Экстраполяция — это метод, при котором прогнозируемые показатели рассчитываются как продолжение динамического ряда на будущее по выявленной закономерности развития. По существу, экстраполяция является переносом закономерностей и тенденций прошлого на будущее на основе взаимосвязей показателей одного ряда. Метод позволяет найти уровень ряда за его пределами в будущем. Экстраполяция эффективна для краткосрочных прогнозов, если данные динамического ряда выражены ярко и устойчиво.

Экстраполяция называется формальной экстраполяцией, если предполагается сохранение прошлых и настоящих тенденций развития на будущее. Если же фактическое развитие увязывается с гипотезами о динамике процесса развития с учетом физической и логической сущности, то говорят о прогнозной экстраполяции. Она может быть в виде тренда, огибающих кривых, корреляционных и регрессионных зависимостей, может быть основана на факторном анализе и др.

Нормативный метод прогнозирования заключается в определении путей и сроков достижения возможных состояний явления, принимаемых в качестве цели. Речь идет о прогнозе достижения желаемых сочетаний явления на основе заранее заданных норм, идеалов, стимулов и целей. Такой прогноз отвечает на вопрос: каким путем или какими путями можно достичь желаемого состояния системы.

Нормативный метод чаще применяется для программных или целевых прогнозов. Используются как количественное выражение норматива, так и определенная шкала возможностей, оценочной функции.

Метод экспертных оценок используется преимущественно в долгосрочных прогнозах. В качестве эксперта выступает квалифицированный специалист (группа специалистов) по конкретной проблеме, который может сделать долгосрочный и достоверный вывод об объекте прогнозирования. Метод чаще используется в тех случаях, когда трудно количественно оценить прогнозный фон, и специалисты делают это на основе своего понимания вопроса. По существу, мнение специалиста — это результат мысленного анализа и обобщения процессов, относящихся к прошлому, настоящему и будущему, на основании своего собственного опыта, квалификации и интуиции. Метод экспертных оценок имеет несколько видов:

• индивидуальная экспертная оценка;

• коллективная экспертная оценка;

• метод генерации идей;

• аналитический метод;

• метод интервью;

• метод экспертных комиссий;

• дельфийский метод;

• метод коллективной генерации идей;

• синоптический метод и др.

Метод аналогии предполагает перенос знаний об одном предмете (явлении) на другой. Такой перенос верен с определенной долей достоверности (вероятности), так как сходство между явлениями редко бывает полным. Различают историческую и математическую аналогию. Историческая аналогия основана на установлении и использовании аналогии объекта прогнозирования с одинаковыми по природе объектами, которые опережают прогнозируемые в своем развитии.

Метод математической аналогии основан на установлении аналогии математических описаний процессов развития различных по природе объектов с последующим использованием более изученного и более точного математического описания одного из них для разработки прогнозов другого. Этот метод используется в экономико-математическом моделировании и при экспериментальном подходе к изучению экономики, когда знание о признаках одного предмета возникает на основании его сходства с другими предметами. Моделирование и эксперимент обязательно используют метод аналогии.

Моделирование (математическое моделирование) означает описание экономического (моделируемого) явления посредством математических формул, уравнений и неравенств. Математический аппарат должен достаточно точно отражать прогнозный фон, хотя полностью отразить всю глубину и сложность прогнозируемого объекта довольно трудно. В широком смысле модель — это заместитель оригинала (объекта исследования) , имеющий с ним такое сходство, которое позволяет получить новое знание об объекте. При более узком понимании модели она рассматривается как объект прогнозирования. Ее исследование позволяет получить информацию о возможных состояниях объекта в будущем и путях достижения этих состояний. С помощью математических моделей определяют:

• зависимость между различными экономическими показателями;

• различного рода ограничения, накладываемые на показатели;

• критерии, позволяющие оптимизировать процесс. В прогнозировании различают: макромоделирование, то есть укрупненное моделирование показателей экономики развития страны в целом; микромоделирование, то есть построение моделей для отдельного объекта (фирмы); моделирование экономических процессов региона, отрасли.

Возможности экономико-математического моделирования весьма широки — от анализа до выработки управленческого решения, включая вопросы прогнозирования развития хозяйственных процессов. Однако нельзя переоценивать значение моделирования. Моделирование обычно рекомендуется использовать как «консультирующее средство», но окончательное решение всегда должно оставаться за специалистом. Сложное экономическое явление (процесс) требует создания (разработки) сложных математических моделей, а они, в свою очередь, приводят к трудностям в расчетах. При упрощении модели возможно снижение ее достоверности.

Эти два полюса (две крайности) должны учитываться прогнозистом при использовании метода моделирования.

Методы прогнозирования не исчерпываются перечисленными выше. В специальной литературе можно найти описание иных методов и подходов:

• морфологический анализ;

• прогнозный сценарий;

• прогнозный граф и «дерево целей»;

• корреляционный и регрессионный анализ;

• метод группового учета аргументов;

• факторный анализ;

• теория распознавания образов;

• вариационное исчисление;

• спектральный анализ;

• цепи Маркова;

• элементы алгебру логики;

• теория игр и др.

Таким образом, существуют различные типовые методы прогнозирования. Задача прогнозиста — выбрать такой метод, который в наибольшей мере соответствовал бы задачам и принципам прогнозирования данного явления (объекта).

Во всех отраслях и сферах хозяйственной деятельности приходится постоянно принимать управляющие решения, последствия которых проявятся в будущем. Можно с уверенностью утверждать, что любое такое решение основывается на том или ином способе предвидения. Одним из способов предвидения при принятии хозяйственных решений является прогнозирование.

Прогноз — научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем, альтернативных путях и сроках их осуществления.

Основные особенности прогноза:

1. Прогноз является следствием действительности как единого целого, а будущее, отражаемое в прогнозе, — это результат сложного комплекса причин и условий. Прогноз — это итог выводов, эмпирических данных и обоснованных предположений. Он представляет собой аргументированное заключение о направлениях развития в будущем.

2. Прогноз испытывает влияние различных признаков действительности или моделирует эти признаки. При отсутствии изученных закономерностей развития для прогноза используется гипотеза о закономерностях.

3. Для составления прогноза необходимы научные исследования количественного и качественного характера, включая количественную оценку, на будущее.

4. Прогноз является ориентиром для планирования, создает исследовательскую основу для подготовки плана.

5. Прогноз носит вероятностный характер и являет я многовариантным.

6. Временные и пространственные рамки прогноза зависят от сущности рассматриваемого явления,

7. При разработке прогноза не ставятся конкретные задачи и исключается детализация.

8. Точность прогноза проверяется временем.

9. При разработке прогноза от специалиста требуются объективность и научная добросовестность.

Под прогнозированием в экономике понимают научное определение вероятных путей и результатов предстоящего развития экономической системы, оценку показателей, характеризующих это развитие в течение более или менее отдаленного будущего.

Экономический прогноз позволяет:

• оценить состояние и осуществить поиск возможных вариантов управленческих решений;

• определить область для направления изменения будущих событий;

• выявить проблемы, слабо выраженные в настоящем, но возможные в будущем;

• смоделировать варианты событий при учете ведущих факторов.

Назначение прогноза выражается в его функциях. К основным функциям прогноза относятся:

1. Анализ социально-экономических и научно-технических процессов и тенденций, объективных причинно-следственных связей этих явлений в конкретных условиях, в том числе оценка сложившейся ситуации и выявление проблем хозяйственного развития.

2. Оценка этих тенденций в будущем, предвидение новых экономических условий и проблем, требующих разрешения.

3. Выявление альтернативы развития в перспективе, накопление экономической информации и расчетов для обоснования выбора и принятия оптимального управленческого решения.

Таким образом, цель экономического прогнозирования — предсказание (предвидение) будущих последствий хозяйственных решений, принимаемых в текущий момент времени.

Задачи, решаемые на основе экономических прогнозов, зависят от масштабов и характера деятельности организации. Если это задачи, например, разработки годового регионального или государственного бюджета, то, очевидно, необходимо иметь прогнозы темпов инфляции, объемов поступления налоговых средств и т.д. Если это промышленное предприятие, то такими задачами могут являться: определение ассортимента выпускаемой продукции в зависимости от прогнозов на платежеспособный спрос; расширение или свертывание производства в зависимости от прогнозов общеэкономической конъюнктуры и т.п. В любом случае результаты прогнозов всегда лежат в основе планов предстоящей хозяйственной деятельности.

Классифицируют прогнозы по различным признакам.

В соответствии с проблемно-целевым признаком различают поисковый и нормативный прогнозы.

Поисковый прогноз — это прогноз определения возможных состояний явления в будущем, отвечающий на вопрос: что вероятнее всего произойдет при условии сохранения действующих тенденций? Его метод — экстраполяция.

Нормативный прогноз выполняется с целью определения путей и сроков достижения возможных состояний объекта прогнозирования в будущем, принимаемых в качестве цели. Основной метод прогнозирования — интерполяция.

По критерию природы объекта выделяют прогнозы:

• социальные (в том числе демографические);

• ресурсные (природные, материальные, трудовые, финансовые);

• научно-технические (перспективы развития науки и техники и влияние этих достижений на экономику);

• общественных и личных потребностей (спрос, потребление, потребности в образовании, здравоохранении, правопорядке, культуре и т. д.).

По критерию времени выделяют прогнозы: оперативные (до одного месяца); краткосрочные (от двух месяцев до года); среднесрочные (от 1 до 5 лет); долгосрочные (от 5 до 15 лет); дальнесрочные (свыше 15 лет).

По критерию сложности различают прогнозы: сверхпростой, простой, сложный, сверхсложный. Эти прогнозы отличаются наличием взаимосвязанных переменных в их описании: в сверхпростом прогнозе отсутствуют существенные взаимосвязи, и сверхсложном — взаимосвязи тесные (с коэффициентом корреляции, близким к 1).

По степени детерминированности объекта прогнозы могут быть: детерминированными, то есть без существенных потерь информации в описании условий; стохастическими, в которых требуется учет случайных величин; смешанными, включающими характеристики двух вышеуказанных прогнозов.

По критерию характера развития объекта во времени различаются прогнозы: дискретные, для которых характерен тренд со скачкообразными изменениями в фиксированные периоды времени; апериодические, которые представлены в виде непериодических функций времени; циклические, для которых характерна периодическая функция времени.

По критерию масштабности объекта различают прогнозы: сублокалъные; локальные, суперлокалъные (субглобалъные), глобальные. Если говорить об отдельной фирме или объединении предприятий, то речь должна идти, как правило, о первых трех видах, а для стран или группы стран более характерны глобальные прогнозы.

Прогнозирование, основанное на использовании методов статистического анализа ретроспективных данных, допустимо в том случае, когда между прошлым и будущим имеется определенная причинно-следственная связь. Можно утверждать, что анализ ретроспективных данных служит надежной основой для принятия решений относительно будущих хозяйственных действий, однако не следует забывать, что прогностические оценки, полученные методом статистического анализа, подлежат корректировке в случае, если известны те или иные факторы, влияние которых с той или иной вероятностью ожидается в будущем.

Наиболее характерной задачей прогнозирования, которая решается в каждой фирме, является задача прогнозирования спроса на товары или услуги фирмы. Для решения этой задачи необходимо предварительное изучение рынков сбыта маркетинговыми исследованиями, которые и поставляют необходимую статистическую информацию для применения методов статистического анализа при разработке прогнозов.

Алгоритм построения прогноза методом статистического анализа состоит из следующих шагов:

1) строится график зависимости спроса от времени;

2) на основе визуального изучения графика делается предположение об аналитической форме кривой, которая наилучшим образом способна аппроксимировать ломаную на графике;

3) применяется метод наименьших квадратов для построения прогнозирующей кривой;

4) оценивается среднее значение погрешности полученных прогнозных оценок;

5) применяется решение об использовании или неиспользовании выбранной кривой для построения прогноза.

Наиболее часто употребимым методом построения прогнозирующей функции является метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов позволяет подобрать некоторую непрерывную аналитическую функцию для аппроксимации дискретного набора исходных данных. Выбор функции считается наилучшим, если сведено к минимуму стандартное отклонение по рассматриваемой временной выборке, которое определяется по формуле:

где - фактический спрос, наблюдаемый в t-й период времени;

- значение прогнозирующей функции для того же момента времени;

n - число периодов (наблюдений), то есть длина временной выборки;

f - число степеней свободы.

Суммирование ведется по всей выборке, поэтому, как это принято в статистике, нижний и верхний индексы суммирования опущены.

Минимизация . Поэтому задача сводится к минимизации суммы квадратов разностей между фактическим значением спроса в момент t и тем значением, которое принимает прогнозирующая функция.

Наиболее часто для построения прогнозирующей функции используют:

линейную функцию ,

параболу ,

гиперболу ,

многочлены более высоких порядков.

Если предположить, что выбрана линейная форма прогнозирующей функции, то есть , то для определения исходно неизвестных параметров необходимо минимизировать . Для этого определяют первые частные производные Е по

откуда и получают искомые значения параметров .

Аналогично получают параметры для гиперболы и параболы.

Поведение спроса часто носит циклический (периодический) характер. Тогда прогнозирующая функция может быть представлена в виде:

где N — число периодов в одном цикле. Суперпозиция линейной и циклической функций позволяет получить линейно-циклическую функцию:

Определение фигурирующих в формулах констант осуществляется методом наименьших квадратов.

При выборе прогнозирующей функции предпочтение отдается той аналитической форме, которая обеспечивает минимальное из стандартных отклонений как погрешность оценки аппроксимации. Поэтому если нет уверенности, что тот или иной вид прогнозирующей функции заведомо предпочтительнее других, то следует испытать несколько различных форм прогнозирующей функции и выбрать наилучшую в соответствии с критерием минимизации стандартного отклонения.

Пусть известна статистика валового выпуска продукции Y (тыс. руб.) некоторого предприятия за 9 лет:

Необходимо провести статистический анализ исходных данных. Методом наименьших квадратов определить параметры аналитической кривой для линейной и квадратичной аппроксимации исходной ломаной. В соответствии с критерием минимизации стандартного отклонения выбрать наилучшую форму прогнозирующей функции, а затем построить прогноз на один, два и три временных интервала времени.

Пусть известна статистика валового выпуска продукции Y (тыс. руб.) некоторого предприятия за 9 лет:

Необходимо провести статистический анализ исходных данных. Методом наименьших квадратов определить параметры аналитической кривой для линейной и квадратичной аппроксимации исходной ломаной. В соответствии с критерием минимизации стандартного отклонения выбрать наилучшую форму прогнозирующей функции, а затем построить прогноз на один, два и три временных интервала времени.

Пусть известна статистика валового выпуска продукции Y (тыс. руб.) некоторого предприятия за 9 лет:

Необходимо провести статистический анализ исходных данных. Методом наименьших квадратов определить параметры аналитической кривой для линейной и квадратичной аппроксимации исходной ломаной. В соответствии с критерием минимизации стандартного отклонения выбрать наилучшую форму прогнозирующей функции, а затем построить прогноз на один, два и три временных интервала времени.

Пусть известна статистика валового выпуска продукции Y (тыс. руб.) некоторого предприятия за 9 лет:

Необходимо провести статистический анализ исходных данных. Методом наименьших квадратов определить параметры аналитической кривой для линейной и квадратичной аппроксимации исходной ломаной. В соответствии с критерием минимизации стандартного отклонения выбрать наилучшую форму прогнозирующей функции, а затем построить прогноз на один, два и три временных интервала времени.

Пусть известна статистика валового выпуска продукции Y (тыс. руб.) некоторого предприятия за 9 лет:

Необходимо провести статистический анализ исходных данных. Методом наименьших квадратов определить параметры аналитической кривой для линейной и квадратичной аппроксимации исходной ломаной. В соответствии с критерием минимизации стандартного отклонения выбрать наилучшую форму прогнозирующей функции, а затем построить прогноз на один, два и три временных интервала времени.

Цель:

Применение методов прогнозирования при принятии хозяйственных решений.

Результаты обучения:

После успешного завершения занятия пользователь должен изучить особенности экономического прогнозирования, научиться выполнять прогнозирование методом статистического анализа.

Список рекомендуемой литературы:

• Грицюк С.Н. Математические методы и модели в экономике: Учебник. – Ростов н/Д.: Феникс, 2007.
• Чернов Д., Еременко А. OpenOffice.org для профессионала. – М.: ДМК Пресс, 2008.
• Хахаев И. OpenOffice.org: Теория и практика. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.
• Культин Н.Б., Цой Н.Б. OpenOffice.org 3.0 Calc. – М.: BHV, 2009.

Используемые программы:

OpenOffice.org Calc

Табличный процессор OpenOffice.org Calc – программа, предназначенная для обработки числовой и текстовой информации. С ее помощью можно решать экономические, математические, инженерно-расчетные задачи, проводить статистическую обработку данных, а также отображать числовую информацию в виде различных графиков и диаграмм.

1. Запустите OpenOffice.org Calc.

2. Подготовьте таблицу для представления результатов расчета:

3. Введите исходные данные:

4. Проведите расчеты в соответствии с представленными выше формулами (точность – два знака после запятой):

5. Проведите анализ и определите наиболее предпочтительный вариант строительства АЗС.

За критерий, характеризующий качество функционирования АЗС, выбираем коэффициент простоя системы . Этот критерий показывает полноту загрузки обслуживаемой системы, и его значение должно стремиться к единице. В качестве другого критерия выбираем среднее время простоя автомобилей E4. Этот критерий характеризует потери времени из-за ожидания начала обслуживания объекта, и его значение должно стремиться к нулю.

Первый вариант строительства АЗС не годен из-за того, что очередь в этом случае будет расти до бесконечности.

Второй вариант хорош по показателю загруженности оборудования = 0,875 и, следовательно, малой средней доли простоя оборудования E1 = 0,125, но при этом варианте возникают большие очереди и, следовательно, большие средние времена простоя автомобилей E4 = 0,125 мин.

Третий вариант приводит к тому, что оборудование в среднем половину времени простаивает, но среднее число автомобилей в системе равно только 1, а средние потери времени равны 4 мин при среднем времени обслуживания 2 мин.

В остальных вариантах очереди практически неn, но большую часть времени оборудование простаивает, поэтому эти варианты целесообразно отбросить как неэффективные.

Окончательный выбор варианта проекта АЗС, очевидно, принадлежит лицу, принимающему решение (ЛПР), но предварительная рекомендация по результатам анализа может состоять в предложении третьего варианта, если исходить из того, что наблюдается постоянная тенденция роста автомобильного парка в стране.

Пусть необходимо выбрать один из нескольких вариантов строительства АЗС. Автомобили прибывают на станцию случайным образом и, если не могут быть обслужены сразу, становятся в очередь. Дисциплина очереди — «первым пришел — первым обслужен». Предположим для простоты, что во всех вариантах рассматривается только одна бензоколонка, а вариант от варианта отличается лишь ее мощностью.

Предположим, статистические наблюдения позволили получить величину среднего количества клиентов , обслуживаемых в единицу времени. Обратная величина определяет среднее время обслуживания одного клиента.

Далее допускается стандартное предположение, что вероятность того, что обслуживание одного клиента, находящегося в процессе обслуживания в момент t, будет завершено в малом промежутке времени , приблизительно равна , где . Вероятность того, что обслуживание не закончится, считается приблизительно равной , а вероятность того, что будет закончено обслуживание двух или более клиентов, — пренебрежимо малой величиной. Тогда плотность распределения времени обслуживания имеет экспоненциальное распределение:

Далее, исходя из того, что клиенты прибывают на АЗС случайно, предполагается, что вероятность прибытия одного клиента за любой малый промежуток времени , начинающийся в произвольный момент времени t и имеющий длину , с точностью до пренебрежимо малых величин пропорциональна с некоторым коэффициентом пропорциональности . Величина интерпретируется как среднее число клиентов, появляющихся в АЗС за единицу времени, а обратная ей величина , а вероятность прибытия двух или более клиентов — пренебрежимо малой величиной по сравнению со значением . Из выдвинутых предположений в теории вероятностей делаются следующие выводы. Во-первых, промежутки времени т между двумя последовательными появлениями клиентов удовлетворяют экспоненциальному распределению:

Во-вторых, вероятность того, что за любой уже не малый период времени Т прибудет n клиентов, подсчитывается по формуле

то есть входной поток заявок является пуассоновским.

Отметим, что, в отличие от среднего количества автомобилей, прибывающих в единицу времени на АЗС, то есть величины , величина зависит от выбранного нами варианта строительства АЗС. Поэтому имеет смысл рассматривать те проекты АЗС, для которых среднее время обслуживания меньше среднего промежутка времени между прибытием клиентов, ибо в противном случае очередь будет постоянно расти. В том же случае, когда < , через некоторое время после начала работы система перейдет в стационарный режим, то есть ее показатели не будут зависеть от времени.

Обозначив отношение через , можно показать, что стационарный режим устанавливается при <1. Величину называют нагрузкой системы. Тогда основные характеристики системы массового обслуживания определяются по формулам:

q коэффициент простоя системы

q среднее число клиентов в системе

q средняя длина очереди

q среднее время пребывания клиента в системе

q время пребывания клиента в очереди

На основе анализа значений приведенной системы показателей, характеризующих систему массового обслуживания, делается вывод о целесообразности выбора варианта строительства АЗС.

Методы и модели, применяющиеся в теории массового обслуживания, можно условно разделить на аналитические и имитационные.

Аналитические методы теории массового обслуживания позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО. Имитационные методы основаны на моделировании процессов массового обслуживания на ЭВМ и применяются, если невозможно применение аналитических моделей.

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским).

Простейший поток обладает тремя основными свойствами: ординарности, стационарности и отсутствием последействия.

Ординарность потока означает практическую невозможность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя сразу несколько станков.

Стационарным называется поток, для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени, не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определенного количества требований в течение заданного промежутка времени зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.

Отсутствие последействия означает, что число требований, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток времени от t до t + Dt.

Например, если на ткацком станке в данный момент произошел обрыв нити и он устранен ткачихой, то это не определяет, произойдет новый обрыв на данном станке в следующий момент или нет, тем более это не влияет на вероятность возникновения обрыва на других станках.

Важная характеристика СМО — время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории и, особенно в практических приложениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания.

Многие экономические задачи связаны с системами массового обслуживания (СМО), т.е. такими системами, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, с другой — происходит удовлетворение этих запросов. СМО включает в себя следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающие устройства (каналы обслуживания), выходящий поток требований. Исследованием таких систем занимается теория массового обслуживания.

Методами теории массового обслуживания могут быть решены многие задачи исследования процессов, происходящих в экономике. Так, в организации торговли эти методы позволяют определить оптимальное количество торговых точек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры. Другим характерным примером систем массового обслуживания могут служить склады или базы снабженческо-сбытовых организаций, и задача теории массового обслуживания в данном случае сводится к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом поступающих на базу требований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя транспорта были бы минимальными. Теория массового обслуживания может найти применение и при расчете площади складских помещений, при этом складская площадь рассматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку — как требование. Модели теории массового обслуживания применяются также при решении ряда задач организации и нормирования труда, других социально-экономических проблем.

Системы массового обслуживания могут быть классифицированы по ряду признаков.

1. В зависимости от условий ожидания начала обслуживания различают:

• СМО с потерями (отказами),

• СМО с ожиданием.

В СМО с отказами требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и теряются. Классическим примером системы с отказами является телефонная станция. Если вызываемый абонент занят, то требование на соединение с ним получает отказ и теряется.

В СМО с ожиданием требование, застав все обслуживающие каналы занятыми, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из обслуживающих каналов.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным числом требований в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным временем ожидания.

2. По числу каналов обслуживания СМО делятся на:

• одноканальные,

• многоканальные.

3. По месту нахождения источника требований СМО делятся на:

• разомкнутые, когда источник требования находится вне системы;

• замкнутые, когда источник находится в самой системе. Примером разомкнутой системы может служить ателье по ремонту телевизоров. Здесь неисправные телевизоры — это источник требований на их обслуживание, находятся вне самой системы, число требований можно считать неограниченным. К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, а следовательно, источником требований на их обслуживание, например, бригадой наладчиков.

Возможны и другие признаки классификации СМО, например, по дисциплине обслуживания, однофазные и многофазные СМО и др.

Цель:

исследование методов планирования и управления систем массового обслуживания.

Результаты обучения:

после успешного завершения занятия пользователь должен научиться рассчитывать основные параметры простейших систем массового обслуживания.

Список рекомендуемой литературы:

• Семакин И.Г. Информационные системы и модели. Учебное пособие. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.
• Чернов Д., Еременко А. OpenOffice.org для профессионала. – М.: ДМК Пресс, 2008.
• Хахаев И. OpenOffice.org: Теория и практика. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.
• Культин Н.Б., Цой Н.Б. OpenOffice.org 3.0 Calc. – М.: BHV, 2009.

Используемые программы:

OpenOffice.org Calc

Табличный процессор OpenOffice.org Calc – программа, предназначенная для обработки числовой и текстовой информации. С ее помощью можно решать экономические, математические, инженерно-расчетные задачи, проводить статистическую обработку данных, а также отображать числовую информацию в виде различных графиков и диаграмм.

Во многих ситуациях принятие хозяйственных решений приходится осуществлять в условиях неопределенности второго порядка. Подобные ситуации называют игровыми. Их суть состоит в том, что принятие решения приходится осуществлять в условиях, когда в этом процессе принимает участие несколько сторон, причем часто с противоположными интересами, например, как в классической ситуации взаимодействия продавца и покупателя. Иными словами, это ситуации, в которых возникает конфликт интересов. Эти ситуации называют игровыми, а участников — игроками.

Математической теорией конфликтных ситуаций является теория игр.

На промышленных предприятиях теория игр может применяться для выбора оптимальных решений, например, при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, гарантирующих бесперебойную работу производства, и сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении таких экономических задач, как выбор для посева одной из возможных культур, урожай которых зависит от погоды, если известны цена единицы той или иной культуры и средняя урожайность каждой культуры в зависимости от погоды (например, будет ли лето засушливым, нормальным или дождливым); в этом случае одним из игроков выступает сельскохозяйственное предприятие, стремящееся обеспечить наибольший доход, а другим — природа.

Если интересы игроков строго антагонистичны, то игры называют антагонистическими, если в процессе игры участники могут каким-либо образом объединяться, что сулит им более высокие выигрыши, то игры называются кооперативными. Конфликт может возникать не только в результате сознательных действий различных участников, но и в результате действия тех или иных «стихийных сил». В последнем случае говорят об «играх с природой». Для характеристики игровой ситуации используются следующие понятия: «игроки» — множество заинтересованных сторон, которых также называют участниками, сторонами, лицами; «стратегии» — возможные действия каждой из сторон; «функции выигрыша» или «платежи» - числовые характеристики, выражающие интересы игроков.

Стратегии бывают «чистыми» и «смешанными». Чистая стратегия — это стратегия, ориентированная на определенное поведение игрока-противника. Смешанная стратегия — это стратегия, ориентированная на несколько возможных стратегий поведения игрока-противника.

Классифицируют игры по разным признакам: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функции выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.

По числу игроков различают игры с двумя, тремя и большим количеством игроков.

По количеству стратегий различают конечные и бесконечные игры. В конечных играх игроки располагают конечным числом стратегий, в бесконечных — бесконечным.

По свойствам функций выигрыша различают игры с нулевой суммой (антагонистические), то есть игры, в которых есть прямой конфликт и выигрыш одного участника равен проигрышу второго, и игры с постоянной разностью, то есть такие, в которых игроки проигрывают и выигрывают одновременно.

В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры.

Для формулировки задачи в игровой постановке необходимо реализовать следующие этапы.

1-й этап. Определение участников игры (игроков). На этом этапе анализируется условие задачи и делается попытка выделить участников игры, а также определить суть конфликта, который возникает между ними.

2-й этап. Определение стратегий игроков. Определение стратегий игроков — процесс во многом неформальный. Чтобы выделить стратегии, необходимо сформулировать конечные цели игроков и найти пути достижения этих целей. В матричных играх с нулевой суммой цели игроков прямо противоположны.

3-й этап. Определение выигрышей игроков при использовании каждой стратегии.

Выигрыши (платежи) обязательно должны иметь количественное выражение. Выигрыши являются показателями степени достижения целей соответствующего игрока. Выигрыши определяются при сочетании различных стратегий игроков.

4-й этап. Представление матрицы выигрышей (платежей) в нормальной форме.

Представление осуществляется путем внесения найденных значений выигрышей (платежей) в матрицу.

Основным принципом решения матричных антагонистических игр является предположение о том, что каждый игрок стремится обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых действиях партнера. В этих условиях оптимальной стратегией игрока № 1 вне зависимости от стратегии противника будет стратегия, максимизирующая минимальный выигрыш, то есть максиминная стратегия, а для игрока № 2 тогда оптимальной является минимаксная стратегия.

Фундаментальным результатом теории игр является Теорема о минимаксе, которая утверждает, что сформулированные задачи для игроков №№ 1 и 2 всегда имеют решение для любой матрицы выигрышей и решения совпадают.

Имеется большое количество экономических задач, в которых невозможно однозначно определить основные параметры и переменные модели изучаемого процесса или явления. В этом случае говорят, что принятие хозяйственных решений осуществляется в условиях неопределенности.

Различают два вида неопределенности. Первый — это стохастическая неопределенность, или неопределенность первого порядка, то есть ситуация, в которой предполагается, что для неопределенных параметров может быть установлено вероятностное распределение. В этом случае часто прибегают к изучению функции плотности вероятностей, определяют среднее значение случайной величины, ее дисперсию и т.п., что в конечном счете позволяет сделать вывод о допустимом варианте хозяйственного решения по некоторому заранее определенному, как правило, пороговому критерию. Применение вероятностных методов моделирования экономических процессов оправдывает себя только в тех случаях, когда есть возможность накопить и обработать большое количество статистической информации, обеспечивающей репрезентативность анализируемых выборок.

Второй вид неопределенности — это неопределенность, при которой неизвестно вероятностное распределение интересующей величины, но определена область ее изменения. Неопределенность такого вида называют неопределенностью второго порядка. Возникает неопределенность второго порядка по двум причинам: в связи с действием людей, преследующих иные цели в некоторой экономической ситуации, или в связи с поведением некоторых непредсказуемых природных факторов.

Для принятия подобных решений предлагаются некоторые логические критерии принятия хозяйственных решений.

Одним из таких подходов является принцип гарантированного результата. Его смысл состоит в том, что выбирается такой x-параметр (план или управление), определяемый нами, при котором некоторый интересующий нас показатель W(x,y) достигает наилучшего (наибольшего) значения при условии, что y, неопределенный параметр, принимает наихудшее значение. Математически принцип гарантированного результата определяется по следующему алгоритму.

1. Для каждого управления x находится наихудшее значение показателя W(x,y):

2. После этого выбирается такое управление , при котором достигается наибольшее значение

Величина W(x,y), которое мы можем гарантировать при наихудшем для нас поведении (значении) неопределенного параметра у. Этот критерий выбора называется критерием Валъда.

Противоположный принципу гарантированного результата подход основан на оптимистическом предположении, что неизвестный параметр y будет принимать наилучшие для нас значения. В этом случае выбор управляющего решения основывается на определении

Однако этот критерий слишком оптимистичен, поэтому чаще применяется критерий Гурвица, состоящий в выборе такого управления x, при котором достигается

где принимает значение от 0 до 1. При получается пессимистический подход к принятию решения на основе принципа гарантированного результата, при — оптимистический подход. Объективных основ для выбора коэффициента а не существует.

Интересен подход, предложенный Л. Сэвиджем. Он состоит в следующем. Для каждого значения

которая показывает, какое наилучшее значение показателя W(x,y) можно получить при каждом значении .

Это значение показателя можно было бы получить, бы было известно значение параметра у заранее.

Строится новый показатель:

Показатель называется функцией риска (функцией потерь или функцией сожалений). Он показывает потери (отклонения от наилучшего значения В(у)) для каждого управления . Критерий Сэвиджа состоит в выборе решения на основе функции риска V(x,y) с использованием принципа гарантированного результата, то есть ищется такое решение, при котором достигается:

Использование этого подхода позволяет уменьшить риск при принятии решения.

Тем не менее, необходимо помнить, что все приведенные критерии имеют высокую степень произвольности.

Пример. На базе торговой фирмы имеется n типов товара ассортиментного минимума. В магазин фирмы должен быть завезен только один из этих типов товара. Если товар типа будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль . Если же этот товар не будет пользоваться спросом, то издержки на его хранение принесут магазину убыток . Требуется выбрать тип товара, который целесообразно завезти в магазин.

В условиях неопределенного покупательского спроса конфликтная ситуация товароснабжения формализуется матричной игрой. Пусть первый игрок — магазин, второй игрок — покупательский спрос. Каждый из игроков имеет по n стратегий. Завоз i-го товара — i-я стратегия первого игрока, спрос на j-й товар — j-я стратегия второго игрока. Тогда матрица выигрышей первого игрока имеет вид квадратной матрицы n-го порядка:

Существует ряд методов решения матричных игр. Если матрица игры имеет одну из размерностей, равную двум (у одного из игроков имеется только две стратегии), то решение игры может быть получено графически. Известно несколько методов приближенного решения матричной игры, например, метод Брауна. Применяются также методы линейного программирования.

Пример. Диспетчер автобусного парка (ЛПР) в летние месяцы в конце каждой недели должен принять решение о целесообразности выделения дополнительных автобусов на загородный маршрут. ЛПР имеет три варианта решений: увеличить количество автобусов на 10 (стратегия P1), увеличить это количество на 5 (стратегия P2) или оставить без изменения обычное число автобусов на линии (стратегия Р3). Возможны два состояния погоды: Q1 — плохая погода, Q2 — хорошая погода, причем в момент принятия решения нет возможности определить ожидаемое состояние погоды. Если в выходные дни будет хорошая погода и много желающих выехать за город, а выделено мало автобусов, то парк понесет убытки, связанные с недополученной прибылью. Если же выделены дополнительные автобусы, а погода окажется плохой, то возникнут потери вследствие эксплуатации незаполненных автобусов.

Пусть на основе анализа статистических данных за определенный период установлена функция потерь для возможных комбинаций состояний природы и решений ЛПР в виде матрицы игры A(Pi,Qi), в которой отрицательные значения показывают дополнительную прибыль, а положительные — потери:

Если нет сведений о вероятностях различных состояний погоды, то по критерию Вальда и по критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия P2. По критерию Гурвица при «коэффициенте пессимизма» q = 1 оптимальной окажется стратегия P2, а при q = 0 - стратегия P1.

Пример. Швейное предприятие, выпускающее детские платья и костюмы, реализует свою продукцию через фирменный магазин. Сбыт продукции зависит от состояния погоды. По данным прошлых наблюдений, предприятие в течение апреля—мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде — 1000 костюмов и 625 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 27 руб., для платьев 8 руб., а цена реализации равна соответственно 48 руб. и 16 руб. (цифры условные).

Задача заключается в максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы. Таким образом, служба маркетинга предприятия должна в этих условиях определить оптимальную стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде определенный средний доход. Эта задача решается методами теории игр, игра в этом случае будет относиться к типу игр с природой.

Если в матрице нет седловой точки, то решение ищется в смешанных стратегиях:

Это означает, что игрок A выбирает стратегии А1,A2,…,Am с вероятностями p1,p2,…,pm. Аналогично и для В:

В матричной игре есть еще два важных понятия.

Строка платежной матрицы называется доминируемой строкой, если все ее элементы не превосходят соответствующих элементов какой-либо другой строки.

Столбец называется доминирующим, если все его элементы не меньше соответствующих элементов какого-либо другого столбца.

Алгоритм решения игры.

1. Проверить, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то решение — в чистых отражениях, если нет — продолжить анализ матрицы.

2. Удалить, если они есть, доминируемые строки и доминирующие столбцы. На их месте в оптимальных стратегиях игроков соответствующие компоненты будут равны нулю.

3. Решить матричную игру одним из известных методов.

4. При решении методами линейного программирования, если в платежной матрице есть отрицательные числа, прибавляем ко всем компонентам одно и то же положительное число, так чтобы все элементы новой матрицы стали неотрицательными, а затем от найденной цены игры отнимаем это же число.

Пример

Предприятие может выпускать четыре вида продукции А1, А2, А3, А4, получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из четырех состояний В1, В2, В3, В4. Дана платежная матрица:

где аij — прибыль от i-й продукции при j-м состоянии спроса.

Определить оптимальные пропорции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.

Решение

1) Определим верхнюю и нижнюю цену игры:

Так как , то седловой точки нет, решение будем искать в смешанных стратегиях.

2) Упростим платежную матрицу. Для этого удалим доминируемую строку и доминирующий столбец:

Доминирующая строка – 4.

Доминирующий столбец - 2

Получилась новая матрица:

3) Составим задачу:

Если игрок A применяет смешанную стратегию против любой чистой стратегии Bj игрока В, то он получает средний выигрыш, или математическое ожидание выигрыша , (то есть элементы j-го столбца платежной матрицы почленно умножаются на соответствующие вероятности стратегий А1, А2...Аm и результаты складываются.

Для оптимальной стратегии , поэтому получаем систему неравенств:

Так как , разделим все неравенства на v и введем новые переменные:

Получим:

Цель игрока А — максимизировать свой гарантированный выигрыш, то есть

Разделив на равенство , получим, что переменные х1, х2, х3 удовлетворяют условию .

И если , то , то есть . Таким образом, получаем задачу:

Так как цели игрока В противоположны, то его задача — двойственная этой, то есть при ограничениях:

Решается задача симплексным методом.

Обозначим через наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии Ai для любой стратегии игрока B (наименьшее число в i-той строке матрицы А), то есть

Число

называется нижней ценой игры, или максиминным выигрышем (максимином).

Это гарантированный выигрыш игрока А.

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной.

Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А, выбирая стратегию В., он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим:

Число

называется верхней ценой игры, или минимаксным выигрышем (мииимаксом).

Это гарантированный проигрыш игрока В.

Если нижняя и верхняя цены совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры () называется чистой ценой, или ценой игры.

Стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными, а их совокупность - оптимальным решением, или решением игры.

Пара чистых стратегий Аi и Вj дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент аij является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая точка в матрице называется седловой точкой.

Пример

Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей:

Найти чистые стратегии игроков, если есть седловая точка.

Решение

Все расчеты удобно проводить в таблице, в которой, кроме матрицы А, введены столбец аi и строка bj.

Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А), заполняем столбец аi: а1 = -3; а2 = -1; а3 = 2 — минимальные числа в строках 1, 2, 3. Аналогично заполняем строку bj: b1 = 4, b2 = 5, b3 = 2, b4 = 5 — максимальные числа в столбцах 1, 2, 3, 4 соответственно.

Нижняя цена игры:

Верхняя цена игры:

Эти значения равны, значит, чистая цена игры равна: . Следовательно, игра имеет седловую точку (А1, В2).

Чистые стратегии игроков:

Предприятие (игрок А) планирует выпуск продукции на квартал, рассматривая несколько различных вариантов своей деятельности (стратегии А1, А2, А3 и т. д.). Конкурирующее предприятие (игрок В) может выбирать различные варианты поведения на рынке (стратегии В1, В2, В3 и т, д.). Прогнозируемая прибыль предприятия А за квартал в зависимости от сложившейся ситуации задается платежной матрицей, определяющей соответствующую матричную игру:

Требуется произвести следующее:

1. Определить оптимальные стратегии игрока A в соответствии с критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица (с показателем пессимизма ).

2. Вычислить нижнюю и верхнюю цену игры и установить, имеется ли в заданной матричной игре седловая точка, если есть - выписать чистые стратегии игроков А и В.

Все расчеты выполнять в OpenOffice.org Calc.

Предприятие (игрок А) планирует выпуск продукции на квартал, рассматривая несколько различных вариантов своей деятельности (стратегии А1, А2, А3 и т. д.). Конкурирующее предприятие (игрок В) может выбирать различные варианты поведения на рынке (стратегии В1, В2, В3 и т, д.). Прогнозируемая прибыль предприятия А за квартал в зависимости от сложившейся ситуации задается платежной матрицей, определяющей соответствующую матричную игру:

Требуется произвести следующее:

1. Определить оптимальные стратегии игрока A в соответствии с критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица (с показателем пессимизма ).

2. Вычислить нижнюю и верхнюю цену игры и установить, имеется ли в заданной матричной игре седловая точка, если есть - выписать чистые стратегии игроков А и В.

Все расчеты выполнять в OpenOffice.org Calc.

Предприятие (игрок А) планирует выпуск продукции на квартал, рассматривая несколько различных вариантов своей деятельности (стратегии А1, А2, А3 и т. д.). Конкурирующее предприятие (игрок В) может выбирать различные варианты поведения на рынке (стратегии В1, В2, В3 и т, д.). Прогнозируемая прибыль предприятия А за квартал в зависимости от сложившейся ситуации задается платежной матрицей, определяющей соответствующую матричную игру:

Требуется произвести следующее:

1. Определить оптимальные стратегии игрока A в соответствии с критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица (с показателем пессимизма ).

2. Вычислить нижнюю и верхнюю цену игры и установить, имеется ли в заданной матричной игре седловая точка, если есть - выписать чистые стратегии игроков А и В.

Все расчеты выполнять в OpenOffice.org Calc.

Предприятие (игрок А) планирует выпуск продукции на квартал, рассматривая несколько различных вариантов своей деятельности (стратегии А1, А2, А3 и т. д.). Конкурирующее предприятие (игрок В) может выбирать различные варианты поведения на рынке (стратегии В1, В2, В3 и т, д.). Прогнозируемая прибыль предприятия А за квартал в зависимости от сложившейся ситуации задается платежной матрицей, определяющей соответствующую матричную игру:

Требуется произвести следующее:

1. Определить оптимальные стратегии игрока A в соответствии с критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица (с показателем пессимизма ).

2. Вычислить нижнюю и верхнюю цену игры и установить, имеется ли в заданной матричной игре седловая точка, если есть - выписать чистые стратегии игроков А и В.

Все расчеты выполнять в OpenOffice.org Calc.

Предприятие (игрок А) планирует выпуск продукции на квартал, рассматривая несколько различных вариантов своей деятельности (стратегии А1, А2, А3 и т. д.). Конкурирующее предприятие (игрок В) может выбирать различные варианты поведения на рынке (стратегии В1, В2, В3 и т, д.). Прогнозируемая прибыль предприятия А за квартал в зависимости от сложившейся ситуации задается платежной матрицей, определяющей соответствующую матричную игру:

Требуется произвести следующее:

1. Определить оптимальные стратегии игрока A в соответствии с критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица (с показателем пессимизма ).

2. Вычислить нижнюю и верхнюю цену игры и установить, имеется ли в заданной матричной игре седловая точка, если есть - выписать чистые стратегии игроков А и В.

Все расчеты выполнять в OpenOffice.org Calc.

Цель:

Исследование методов принятия решений в условиях неопределенности.

Результаты обучения:

После успешного завершения занятия пользователь должен научиться применять методы теории игр для решения задач в условиях неопределенности.

Список рекомендуемой литературы:

• Грицюк С.Н. Математические методы и модели в экономике: Учебник. – Ростов н/Д.: Феникс, 2007.
• Чернов Д., Еременко А. OpenOffice.org для профессионала. – М.: ДМК Пресс, 2008.
• Хахаев И. OpenOffice.org: Теория и практика. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.
• Культин Н.Б., Цой Н.Б. OpenOffice.org 3.0 Calc. – М.: BHV, 2009.

Используемые программы:

OpenOffice.org Calc

Табличный процессор OpenOffice.org Calc – программа, предназначенная для обработки числовой и текстовой информации. С ее помощью можно решать экономические, математические, инженерно-расчетные задачи, проводить статистическую обработку данных, а также отображать числовую информацию в виде различных графиков и диаграмм.