Все вопросы к тесту (html) Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Кривые второго порядка

Верны ли определения?

А) Гипербола имеет два фокуса.

В) Парабола – кривая второго порядка, имеющая два фокуса

Подберите правильный ответ

Верны ли определения?

А) Гипербола – кривая второго порядка, имеющая две оси симметрии.

В) Эллипс – центральная кривая второго порядка.

Подберите правильный ответ

Верны ли определения?

А) Каноническое уравнение эллипса имеет вид .

В) Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от точки С (а, b), называемой центром эллипса.

Подберите правильный ответ

Верны ли определения?

А) Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от точки С (а, b), называемой центром окружности.

В) Окружность – геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек есть величина постоянная.

Подберите правильный ответ

Верны ли определения?

А) Парабола – центральная кривая второго порядка.

В) Парабола имеет две оси симметрии.

Подберите правильный ответ

Верны ли определения?

А) Прямые y = определяют асимптоты гиперболы .

В) Точки F1 (0, -5), F2 (0, 5) – фокусы гиперболы .

Подберите правильный ответ

Верны ли определения?

А) Уравнение y = 2 определяет директрису параболы х2 = 8y.

В) Точка F (2, 0) является фокусом параболы х2 = 8y.

Подберите правильный ответ

Верны ли определения?

А) Эксцентриситет гиперболы – это отношение фокусного расстояния к мнимой оси.

В) Эксцентриситет эллипса – это число, равное отношению фокусного расстояния к малой оси эллипса.

Подберите правильный ответ

Верны ли определения?

А) Эксцентриситет эллипса больше единицы.

В) Ось симметрии эллипса, на которой находятся фокусы, называется фокальной осью.

Подберите правильный ответ

Вершина параболы 3х2 + 6х - y + 4 = 0 расположена в точке

Вершина параболы y2 = -4х – 4 имеет координаты

Вершина параболы y2 = 8х + 16 находится в точке

Вершина параболы х - y2 + 4y – 1 = 0 расположена в точке

Вершины гиперболы -36х2 + 4y2 = 144 находятся в точках

Вершины гиперболы 16х2 - 9y2 + 144 = 0 находятся в точках с координатами

Геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, называется ___ (слово).

Геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от данной точки F и даной прямой, называется ___ (слово).

Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется ___ (слово).

Геометрическое место точек, удаленных от точки С (а, b) на равное расстояние R, называется ___ (слово).

Гипербола 16х2 - 9y2 – 144 = 0

Даны параболы а) y2 = 4х, б) y2 = -8х, в) х2 = 6y, г) х2 = -2y. Расположите параболы в порядке удаления их фокусов от начала координат.

Для гиперболы 25х2 - 4y2 = 100

Для гиперболы

прямые

=1 и

= -2 являются осями ___ (слово).

Кривая

Кривая, заданная уравнением

Ось симметрии гиперболы, не пересекающая кривую, называется ___ осью гиперболы (слово).

Ось симметрии кривой х - y2 + 4y -1 = 0 параллельна координатной оси ___ (слово).

Ось симметрии, пересекающая гиперболу, называется ___ осью гиперболы (слово).

Пара гипербол, канонические уравнения которых имеют вид

, называются ___ гиперболами (слово).

Площадь характеристического прямоугольника со сторонами 2

и 2

для эллипса

равна ___ (число) кВ) ед.

Прямые

являются ___ гиперболы

(слово).

Радиус окружности х2 + y2 + 2х - 4y – 4 = 0 равен ___ (число).

Радиус окружности х2 + y2 + 6х + 2y – 15 = 0 равен

Радиус окружности х2 + y2 - 2х + 2y – 2 = 0 равен ___ (число).

Радиус окружности х2 + y2 - 4х + 2y – 11 = 0 равен

Расположите гиперболы а)

, б)

, в)

в порядке возрастания величины мнимой полуоси.

Расположите гиперболы а)

, б)

, в)

в порядке убывания расстояний между вершинами.

Расположите гиперболы а)

, б)

, в)

в порядке увеличения площади характеристического прямоугольника со сторонами 2

и 2

Расположите параболы а) y2 = 4х – 8, б) y2 = 4 - 6х, в) х2 = 6y + 2, г) х2 = 4 - y в порядке убывания расстояний их фокусов от начала координат.

Расположите эллипсы а)

, б)

, в)

в порядке возрастания величин их эксцентриситетов.

Расположите эллипсы а)

, б)

, в)

в порядке возрастания величин площадей их характеристических прямоугольников со сторонами 2

и 2

Расположите эллипсы а)

, б)

, в)

в порядке убывания их фокусных расстояний.

Расположите эллипсы а)

, б)

, в)

в порядке уменьшения величин их больших полуосей.

Расположить гиперболы а)

, б)

, в)

в порядке возрастания расстояний между фокусами.

Расстояние между вершинами гиперболы 25х2 - y2 + 25 = 0 равно ___ (число).

Расстояние между вершинами гиперболы

равно ___ (число).

Расстояние между вершинами гиперболы

равно ___ (число).

Расстояние между вершинами кривой 9х2 - 4y2 = 36 равно ___ (число).

Расстояние между фокумами гиперболы

равно ___ (число).

Расстояние между фокусами гиперболы

равно ___ (число).

Точки пересечения гиперболы с осями симметрии называются ___ гиперболы (слово).

Уравнение 25х2 - 4y2 = 100

Уравнение 25х2 - y2 + 25 = 0 на плоскости определяет ___ (слово, название кривой).

Уравнение 36х2 - 4y2 + 144 = 0

Уравнение 4х2 + y2 - 2y – 15 = 0 на плоскости определяет кривую, называемую ___ (слово).

Уравнение y2 - 4х - 2y – 3 = 0

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, проходящей через точку А (1, 2) и имеющей вертикальную директрису, имеет вид

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, проходящей через точку А (2, 2) и имеюшей горизонтальную директрису, имеет вид

Уравнение х - y2 + 4y – 1 = 0 на плоскости определяет кривую, называемую ___ (слово).

Уравнение х2 + 4y2 - 8х = 0

Уравнение х2 + 4х - 8y + 12 = 0

Уравнение х2 + y2 + 2х - 6y – 6 = 0

Уравнение х2 + y2 - 2х + 2y – 2 = 0 определяет ___ на плоскости (слово, название кривой).

Уравнение х2 + y2 - 4х + 14y + 52 = 0

Уравнение х2 + y2 - 6y + 4х = 3

Уравнение х2 - y2 = а2

Уравнения асимптот гиперболы 25х2 - 4y2 = 100 имеют вид

Уравнения асимптот гиперболы 36х2 - 4y2 = 144 имеют вид

Установите верное соответствие между уравнением кривой и ее типом

Установите верные соответствия между общим и каноническим уравнениями кривой

Установите верные соответствия между общими уравнениями кривой и ее каноническими уравнениями

Установите верные соответствия между общими уравнениями кривой и ее типом

Установите верные соответствия между уравнением кривой и ее типом

Установите верные соответствия между уравнением окружности и радиусом R этой окружности

Установите верные соответствия между уравнением центральной кривой и ее центром

Установите верные соответствия между уравнением эллипса и его каноническим уравнением

Установите верные соответствия между уравнением эллипса и его эксцентриситетом

Установите верные соответствия между уравнением эллипса и фокусным расстоянием

Установите верные соответствия между уравнением эллипса и центром его симметрии

Установите верные соответствия между уравнениями гиперболы и координатами центра симметрии

Установите верные соответствия между уравнениями кривой и их фокусными расстояниями

Установите верные соответствия между уравнениями кривых и их эксцентриситетами

Установите верные соответствия между уравнениями кривых и координатами их фокусов

Фокусы гиперболы 16х2 - 9y2 + 144 = 0 находятся в точках с координатами

Фокусы эллипса 25х2 + 9y2 – 225 = 0 находятся в точках с координатами

Центр окружности х2 + y2 + 2х - 4y - 4 = 0 находится в точке М с координатами

Центр окружности х2 + y2 + 6х + 2y – 15 = 0 находится в точке М с координатами

Центр окружности х2 + y2 - 4х + 2y – 11 = 0 находится в точке М с координатами

Эллипс 9х2 + 25y2 = 225

Плоскость и прямая в пространстве.

Вектор

= {

} является ___ вектором прямой

(слово).

Вектор

= {

} является вектором ___ плоскости

Аx

Вy

Сz

= 0 (слово).

Вектор нормали

плоскости, в которой лежат

= {1, 2, 0} и

= {-1, 1, 1}, равен

Вектором нормали плоскости 3x - y + z = 0 является вектор

Верны ли утверждения?

А) Вектор = {l, m, n}, перпендикулярный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

В) Если вектор нормали к плоскости α коллинеарен направляющему вектору прямой L, то плоскость α и прямая L параллельны.

Верны ли утверждения?

А) Если вектор нормали плоскости α ортогонален направляющему вектору прямой l, то прямая l перпендикулярна плоскости α.

В)Если уравнение плоскости имеет вид Аx + Вy + Сz = 0, то плоскость проходит через начало координат.

Верны ли утверждения?

А) Каноническое уравнение оси OY имеет вид: .

В) Параметрическое уравнение оси OY имеет вид y = 0.

Верны ли утверждения?

А) Ненулевой вектор , перпендикулярный к плоскости α, называется вектором нормали к этой плоскости.

В) Две плоскости параллельны, если их векторы нормали коллинеарны.

Верны ли утверждения?

А) Уравнение плоскости XOY имеет вид z = 0.

В) Уравнение оси OX имеет вид: x = 0.

Дана плоскость α:

– 5 = 0 и прямая

Дана прямая

Дана прямая L: x = 2t + 1; y = -t + 2; z = t – 2 и плоскость α: 2x - y + z - 4 = 0.

Даны плоскости α1: x + 2y + λz – 1 = 0 и α2: 2x + 4y + z + 3 = 0.

Даны плоскости а) 6x + 3y - 2z – 7 = 0, б) 2x + 6y - 3z + 21 = 0, в) 3x + 2y - 6z – 14 = 0. С увеличением расстояния от начала координат плоскости расположены в следующем порядке

Даны прямая L: x = y = z и плоскость α: x + y + z – 3 = 0. Верны утверждения:

Даны три прямые: а)

, б)

, в)

. Расположите прямые в порядке убывания длин направляющих векторов прямых.

Даны уравнения трех плоскостей: а) 2x + 2y – 4 = 0, б) x + y - 4 = 0, в) 2x + 2y + 10 = 0. Расположите уравнения плоскостей в порядке увеличения расстояний плоскостей до плоскости x + y + 2 = 0

Даны уравнения трех плоскостей: а) 2x + 2y – 4 = 0, б) x + y - 4 = 0, в) 2x - 2y + 10 = 0. Расположите уравнения плоскостей в порядке убывания их расстояний до точки М (1, 1, 1)

Даны уравнения трех плоскостей: а) 2x + y – 2z + 11 = 0, б) 4x – 3z + 9 = 0, в) 2x - 2y + z + 2 = 0. Расположите уравнения плоскостей в порядке убывания их расстояний до точки М (1, 1, 1)

Даны уравнения трех плоскостей: а) 2x + y – 2z + 9 = 0, б) 4x – 3z + 10 = 0, в) 2x - 2y + z + 3 = 0. Расположите уравнения плоскостей в порядке увеличения их расстояний от начала координат.

Даны уравнения трех плоскостей: а) 2x + y – z - 2 = 0, б) 2x + 2y - z - 6 = 0, в) 2x + 4y - z - 2 = 0. Расположите уравнения плоскостей в порядке увеличения длины отрезка, отсекаемого плоскостью на оси OY.

Для плоскости l: x = 5 верны утверждения

Для плоскости x + y + z – 6 = 0 верны утверждения

Канонический вид уравнения поверхности второго порядка 3x2 + y2 + z2 + 6x - 2y – 2 = 0 имеет вид

Каноническое уравнение оси OY имеет вид

Направляющий вектор прямой

равен

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку М (1, 2, 3) и ось OY, имеет вид

Плоскости 2x - y + 2z - 6 = 0 и 4x + λy + 4z - 1 = 0 параллельны при λ равном ___ (число)

Плоскости 2x - y + 2z - 6 = 0 и 7x + λy – 3λz + 10 = 0 перпендикулярны при λ равном ___ (число)

Плоскость x + y + z = 0

Прямая

задана как пересечение двух плоскостей

Прямая L: x = 2t + 1; y = -t + 2; z = t – 2 и плоскость α: 4x - 2y + λz + 3 = 0.

Прямая

___ координатной оси

(слово)

Прямая задана как пересечение двух плоскостей

. Верны утверждения:

Прямая

параллельна плоскости

- 2

– 3

+ 9 = 0 при λ равном ___ (число)

Прямая

параллельна плоскости

Аx

Вy

Сz

= 0, если направляющий вектор

= {

} прямой ___ вектору нормали

= {

} плоскости (слово)

Прямая

пересекает плоскость

YOZ

в точке

Прямая

пересекает плоскость

– 9 = 0 в точке

Расстояние между параллельными плоскостями x + 2y – 2z - 4 = 0 и x + 2y – 2z - 10 = 0 равно ___ (число)

Расстояние от начала координат до плоскости 2x + 3y + 6z - 14 = 0 равно ___ (число)

Расстояние от начала координат до плоскости 2x - 2y + z - 6 = 0 равно ___ (число)

Расстояние от точки М0 (3, -2, 0) до плоскости 2x + 3y + 6z - 14 = 0 равно ___ (число)

Укажите верные соовтетствия между каноническими и параметрическими уравнениями прямой

Укажите верные соответствия между взаимными расположениями данных прямых и плоскостью α: 3x + 2y – 2z - 15 = 0

Укажите верные соответствия между каноническими уравнениями прямых и их направляющими векторами

Укажите верные соответствия между координатной осью и ее каноническим уравнением

Укажите верные соответствия между координатной осью и ее параметрическими уравнениями

Укажите верные соответствия между координатной плоскостью и ее уравнением

Укажите верные соответствия между координатными плоскостями и точками пересечения (следами) прямой

с этими плоскостями.

Укажите верные соответствия между параметрическими уравнениями прямых и их направляющими векторами

Укажите верные соответствия между плоскостями и точками, лежащими на этих плоскостях

Укажите верные соответствия между прямыми, заданными параметрическими уравнениями, и параллельными им координатными осями

Укажите верные соответствия между точками пересечения плоскости x - 2y + 3z + 6 = 0 с координатными осями.

Укажите верные соответствия между точками пересечения прямой

с координатными плоскостями.

Укажите верные соответствия между уравнениями плоскостей и их векторами нормали

Укажите верные соответствия между уравнениями плоскостей и координатами точки пересечения плоскости с осью OZ.

Укажите верные соответствия между уравнениями плоскостей и расстоянием от начала координат до данных плоскостей

Уравнение х = 0 задает координатную плоскость ___ (слово)

Уравнение

является каноническим уравнением координатной оси ___ (слово)

Уравнения x = x0 + lt; y = y0 + mt; z = z0 + nt являются ___ уравнениями прямой (слово)

Уравнения

являются ___ уравнениями прямой (слово).

Прямая на плоскости

Верны ли утверждения:

А) Для параллельности двух прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были равны по величине и противоположны по знаку.

В) Для перпендикулярности двух прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были равны.

Верны ли утверждения:

А) Если прямые y = k1х + b1 и y = k2х + b2 перпендикулярны, то k1 × k2 =1.

В) Если прямые y = k1х + b1 и y = k2х + b2 параллельны, то k1 - k2 = 0.

Верны ли утверждения:

А) Прямые 2х + y – 2 = 0 и х + 2y + 2 = 0 отсекают на осях координат равновеликие треугольники.

В) Прямые 2х + y – 2 = 0 и х + 2y + 2 = 0 перпендикулярны.

Верны ли утверждения:

А) Прямые 3х + 4y – 4 = 0 и 4х - 3y – 3 = 0 отсекают на оси OY равные отрезки.

В) Прямые 3х + 4y – 4 = 0 и 4х - 3y – 3 = 0 перпендикулярны.

Верны ли утверждения:

А) Прямые 3х + 4y – 5 = 0 и 3х + 4y + 5 = 0 равноудалены от начала координат.

В) Прямые 3х + 4y – 5 = 0 и 3х + 4y + 5 = 0 параллельны.

Верны ли утверждения:

А) Прямые A1х + B1y + C1 = 0 и A2х + B2y + C2 = 0 параллельны, если A1B2 + A2B1 = 0.

В) Прямые A1х + B1y + C = 0 и A2х + B2y + C2 = 0 перпендикулярны, если A1A2 + B1B2 = 0.

Дана прямая 3х + 5y – 15 = 0. Укажите верные соответствия

Даны прямые L1: 2х + 3y – 6 = 0 и L2: 3х - 2y +6 = 0

Даны прямые L1: 3х - 4y + 4 = 0 и L2: х + y – 1 = 0

Даны прямые L1: 3х - 5y +6 = 0 и L2: 5х + 3y – 1 = 0

Даны прямые L1: 4х - 3y – 1 = 0 и L2: 5х +5y + 1 = 0,

Даны прямые L1: х + y + 2 = 0 и L2: х - y – 2 = 0

Даны прямые L1: х + y + 4 = 0 и L2: х - y – 4 = 0

Даны прямые L1: х + y +2 = 0 и L2: х + y – 4 = 0

Даны прямые а) 2х + y – 3 = 0, б) 3х + 4y + 5 = 0, в) 4х - 3y + 10 = 0. Расположите расстояния прямых от начала координат в порядке возрастания

Даны прямые а) 2х + y – 3 = 0, б) 3х + 4y + 5 = 0, в) 4х - 3y + 10 = 0. Расположите угловые коэффициенты прямых в порядке убывания

Даны прямые а) 2х + y – 4 = 0, б) х + 3y - 6 = 0, в) 3х + 2y - 6 = 0. Расположите прямые в порядке возрастания величин площадей треугольников, отсекаемых прямыми на координатной четверти.

Даны прямые а) 2х + y – 4 = 0, б) х + 3y - 6 = 0, в) 3х + 2y - 6 = 0. Расположите прямые в порядке возрастания длин отрезков, отсекаемых прямыми на оси OY.

Даны прямые а) 2х + y – 8 = 0, б) х + 3y - 6 = 0, в) 3х + 2y - 6 = 0. Расположите прямые в порядке убывания длин отрезков, отсекаемых прямыми на оси OX.

Две прямые L1: 2х + 9y – 9 = 0 и L2: х - y + 1 = 0

Две прямые L1: х - y + 2 = 0 и L2: 2х + y + 1 = 0

Координаты точки пересечения прямых 3х + 2y -1 = 0 и х +5y +4 = 0 равны

Коэффициент k в уравнении прямой y = kх + b называется ___ ___ прямой (2 слова).

Коэффициент «b» в уравнении биссектрисы I и III координатных углов равен ___ (число).

Коэффициент «b» в уравнении прямой y = kх + b есть ___ точки пересечения прямой с осью OY (слово).

Общее уравнение медианы треугольника ABC из точки A, при A (-1, 2), B (3, 1), C (5, -1) имеет вид

Общее уравнение прямой, отсекающей на осях OX и OY отрезки длины 3 и 2 соответственно, имеет вид

Площадь квадрата, две стороны которого расположены на прямых 3х - 4y + 3 = 0 и 3х - 4y – 2 = 0 равна

Площадь треугольника с вершиной в начале координат и основанием, расположенном на прямой 2х + 3y – 6 = 0, с концами, лежащими на осях ох и оу равна ___ (число).

Площадь треугольника, отсекаемого прямой х + y – 6 = 0 в координатной четверти, равна ___ (число).

Прямая 2х + 3y – 6 = 0 отсекает на оси OX отрезок длины ___ ед. (число).

Прямая Aх + 4y – 20 = 0 параллельна прямой 8х - 2y + 1 = 0 при А равном (число).

Прямая Aх + 4y – 20 = 0 перпендикулярна прямой 8х - 2y + 1 = 0 при А равном (число).

Прямая проходит через точки М1 (-1, 3) и М2 (-2, 0). Установите верные соответствия между уравнениями этой прямой и их типами

Прямая х + y + 2 = 0

Прямая х + y = 0 перпендикулярна прямой λх - y + 1 = 0 при λ равном ___ (число).

Прямые 2х + 5y – 1 = 0 и 5х - By – 1 = 0 перпендикулярны при B равном ___ (число).

Прямые 3х + 2y – 3 = 0 и λх - 6y + 12 = 0 параллельны при

Прямые 3х + 2y – 3 = 0 и λх - 6y + 2 = 0 перпендикулярны при

Прямые заданы уравнениями L1: х + y = 0 и L2: λх - y + 1 = 0. Установите верные соответствия:

Прямые на плоскости заданы уравнениями A1х + B1y + C1 = 0 и A2х + B2y + C2 = 0. Установите верные соответствия.

Прямые на плоскости заданы уравнениями L1: y = k1х + b1 и L2: y = k2х + b2. Установите верные соответствия:

Прямые х + 2y – 1 = 0 и 2х - y + 3 = 0 пересекаются

Прямые х + 2y – 1 = 0 и 2х - y + 3 = 0 пересекаются в точке М (-1, 1) под углом φ, равном ___ градусов (число).

Прямые х + y = 0 и λх - y + 1 = 0 параллельны при λ равном ___ (число).

Прямые х - 2y – 5 = 0 и 2х - 7y – 7 = 0 пересекаются в точке

Расположите прямые а) 2х + y – 4 = 0, б) х + 3y - 6 = 0, в) 3х + 2y - 6 = 0 в порядке возрастания их угловых коэффициентов.

Расположите прямые а) 2х + y – 4 = 0, б) х + 3y - 6 = 0, в) 3х + 2y - 6 = 0 в порядке удаления от точки М (1, 2).

Расстояние между прямыми 3х + 4y – 4 = 0 и 3х + 4y + 6 = 0 равно ___ (число).

Расстояние от начала координат до прямой 3х - 4y + 10 = 0 равно

Расстояние от начала координат до прямой 3х - 4y + 5 = 0 равно (число).

Расстояние от начала координат до прямой 3х -4y + 10 = 0 равно

Угловой коэффициент k в уравнении прямой y = kх + b равен ___ ___ наклона прямой (2 слова).

Угловой коэффициент k прямой, проходящей через точки A (1, 2) и B (0, 3) равен ___ (число).

Угловой коэффициент биссектрисы I и III координатных углов равен ___ (число).

Угловой коэффициент прямой, параллельной биссектриве II и IV координатных углов, равен ___ (число).

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной биссектрисе II и IV координатых углов, равен ___ (число).

Угол между прямыми 2х + y – 1 = 0 и х - 2y + 5 = 0 равен

Уравнение прямой на плоскости вида

называется уравнением прямой ___ (слово).

Уравнение с угловым коэффициентом прямой, проходящей через точку A (1, -1) перпендикулярно прямой 3х + 2y -2 = 0, имеет вид

Установите верные соответствия между уравнением прямой на плоскости и типом уравнения

Установите верные соответствия между уравнениями прямых и их угловыми коэффициентами

Установите верные соответствия между уравнениями прямых и расстоянием от начала координат до прямой

Установите верные соответствия:

Система линейных уравнений. Собственные числа линейного оператора. Квадратичные формы. Комплексные числа.

Алгебраическая форма комплексного числа

имеет вид

В пространстве многочленов степени

2 даны многочлены: Р

(

) = (1 +

)

, Р

(

) = (1 -

)

, Р

(

) = 3

х2

+ 5

- 1. Расположите эти многочлены в порядке возрастания их минимальных координат в базисе {

х2

, 1}.

В пространстве многочленов степени

2 даны многочлены: Р

(

) = (1 +

)

, Р

(

) = (1 -

)

, Р

(

) = 3

х2

. Расположите эти многочлены в порядке возрастания их максимальной координаты в базисе {1,

х2

Вектор

= (1, -1) является ___ вектором матрицы

(слово)

Вектор

= (3, 2) является собственным для матрицы

, отвечающим собственному значению

= ___ (число)

Верны ли утверждения:

А. Все комплексные числа z, модуль которых |z| = 2, на комплексной плоскости расположены на окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом R = 2

В. Число 32 является действительной частью комплексного числа z = (1 + i)10.

Верны ли утверждения:

А. Квадратичная форма х2 – 4ху + у2 отрицательно определена.

В. Матрица является матрицей квадратичной формы 4х2 – 2ху + у2.

Верны ли утверждения:

А. Корень имеет единственное значение, равное 1.

В. Корень не существует.

Верны ли утверждения:

А. Любой вектор , удовлетворяющий равенству А = λ, называется собственным вектором матрицы А.

В. Действительное число λ есть собственное число матрицы А, если λ является корнем уравнения det (A – λE) = 0

Верны ли утверждения:

А. Собственному числу λ отвечает единственный собственный вектор матрицы А.

В. Многочлен λ2 – 1 является характеристическим многочленом матрицы А = .

Верны ли утверждения:

А. Число λ = 1 является собственным числом матрицы А = .

В. Ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде.

Все комплексиные числа

, расположенные на окружности, удовлетворяют условию

Дана матрица

, вектор-столбец

и вектор-строка

= (0 2). Укажите верные соответствия

Дана матрица

. Собственный вектор

Дана матрица

. У этой матрицы

Дана система

Дана система линейных уравнений

Дана система уравнений

. Для того, чтобы найти значение переменной

при решении системы по формулам Крамера, достаточно вычислить только определители

Дано комплексное число z = 1 + i

Даны квадратичные формы Q1 = 2х2 - z2, Q2 = 2х2 - у2 + 5z2, Q3 = 3z2. Расположите эти формы в порядке возрастания их рангов.

Даны квадратичные формы Q1 = х2 + у2 + z2, Q2 = х2 + 2ху + z2, Q3 = 2х2 - у2 + 5z2. Расположите эти формы в порядке убывания определителей их матриц..

Даны квадратичные формы Q1 = х2 + у2 + z2, Q2 = х2 - у2 + 2z2, Q3 = 4х2 + 2у2 + 2z2. Расположите эти формы в порядке возрастания максимального собственного числа их матриц.

Даны комплексно-сопряженные числа

–

. Укажите верные соответствия

Даны комплексные числа

= -1 +

Даны комплексные числа:

= 3 – 4

= 1 –

= 1 -

Расположите эти числа в порядке возрастания их модулей.

Даны системы уравнений: (1)

, (2)

, (3)

. Расположите системы в порядке возрастания определителей матриц данных систем.

Действительная часть комплексного числа, равного результату выполнения действий (1 + i)10, равна ___ (число).

Действительная часть комплексного числа, равного результату выполнения действий

, равна ___ (число)

Для ___ матрицы существует ортонормированный базис из ее собственных векторов (слово)

Для матрицы

укажите верные соответствия между собственным вектором и собственным значением, которому этот вектор отвечает.

Если определитель матрицы десятого порядка равен 1, то ранг матрицы равен ___ (число).

Если решением системы

является вектор

, то матрица

равна ___ матрице (слово)

Если

х0

у0

- решение системы линейных уравнений

, тогда

х0

у0

равно

Если

х0

у0

- решение системы линейных уравнений

, тогда

х0

у0

равно

Квадратичная форма 5х2 + 6ху + 3у2

Квадратичная форма

(

) = -

х2

– 6

у2

+ 4

ху

Квадратичная форма λх2 + 4ху + у2 при λ > 4 является ___ определенной (слово).

Квадратичная форма х2 + λху + у2 положительно определена при

Квадратичная форма х2 - ху + у2 является ___ определенной (слово)

Координаты многочлена Р(х) = (х + 1)3 по базису {х, х2, 1, х3} равны

Координаты многочлена Р(х) = 3х + (1 – х)2 по базису {х2, х, 1} равны

Координаты многочлена Р(х) = х + (х – 2)2 по базису {1, х, х2} равны

Коэффициент мнимой части комплексного числа, равного результату выполнения действий

, равен ___ (число).

Максимальное число линейно независимых вектор-строк матрицы А называется ее ___ (слово)

Матрица

являтся матрицей квадратичной формы

Матрица

являтся матрицей квадратичной формы

Матрицей квадратичной формы х2 + ху + у2 является матрица

Матрицей квадратичной формы х2 - 2ху + 3у2 является матрица

Многочлен λ2 – 10λ + 9 является ___ многочленом квадратичной формы 5х2 + 8ху + 5у2 (слово)

Множество решений системы линейных однородных уравнений

образует линейное ___ пространства

(слово)

Модуль комплексного числа

равен ___ (число).

На рисунке представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа z = x + iy.

Ненулевой вектор

, удовлетворяющий равенству

= λ

, называется ___ вектором матрицы

(слово)

Разность между числом свободных и базисных переменных системы уравнений

равна

Ранг квадратичной формы

(

) = 3

х2

+ 10

ху

+ 3

у2

равен ___ (число)

Результатом выполнения действий i3 – 2i2 + i – 1 является число ___.

Результатом выполнения действий в выражении i2 + i4 + i6 является число ___.

Система линейных уравнений

совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы

___ рангу расширенной матрицы

(слово)

Система уравнений

при λ = 1 ___ решений (слово)

Собственные векторы симметричной матрицы, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ___ (слово)

Собственный вектор

= (1, 2) матрицы

отвечает собственному значению

= ___ (число)

Собственным вектором, отвечающим собственному значению λ = 3, для матрицы

служит вектор

Собственными числами матрицы

являются числа

Собственными числами матрицы

являются числа

Среди множеств решений систем уравнений (1)

, (2)

, (3)

линейные подпространства образуют

Укажите верное соответствие между алгебраической и тригонометрической формой комплексного числа

Укажите верные соответствия между квадратичной формой и ее знаком

Укажите верные соответствия между квадратичной формой и ее матрицей

Укажите верные соответствия между комплексным числом и его аргументом

Укажите верные соответствия между комплексным числом и его модулем

Укажите верные соответствия между матрицей и ее собственными числами

Укажите верные соответствия между матрицей и ее характеристическим многочленом

Укажите верные соответствия между матрицей и соответствующей ей квадратичной формой

Укажите верные соответствия между переменной и формулой для ее вычисления методом Крамера для системы

, если Δ =

Укажите верные соответствия между системой линейных уравнений и числом ее решений

Уравнение λ2 – 2λ – 3 = 0 является ___ уравнением квадратичной формы х2 + 4ху + у2 (слово)

Установите верные соответствия между системой линейных уравнений и ее расширенной матрицей.

Фундаментальной системой решений называется ___ подпространства решений системы

(слово)

Характеристический многочлен матрицы

имеет вид

Характеристический многочлен матрицы

имеет вид

Число λ = 1 является собственным числом матрицы

кратности ___ (число)

Число векторов в любом базисе линейного пространства равно ___ этого пространства (слово)

Число отличных от нуля коэхффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется ___ квадратичной формы (слово)

Элементы векторной алгебры

Вектор

, где

(0, -3, 1),

(4, 1, -1) в ___ раза длиннее вектора

+ 2

- 2

(число).

Векторы

, -2, 1} и

={-2, λ, 1} коллинеарны при λ равном

Верны ли определения?

А) Векторное произведение двух векторов есть число, равное сумме произведений соответствующих координат данных векторов.

В) Тройка векторов , , образуют базис пространства R3.

Верны ли утверждения?

А) Модуль векторного произведения двух ненулевых векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

В) Скалярный квадрат ненулевого вектора равен модулю этого вектора.

Верны ли утверждения?

А) Равенство нулю скалярного произведения двух ненулевых векторов есть условие ортогональности этих векторов.

В) Равенство нуль-вектору векторного произведения двух ненулевых векторов есть условие коллинеарности этих векторов.

Выражение

= (

)

+ (

)

равно

Выражение

= (

)

- (

)

равно

Даны векторы

= {0, 4, -3},

= {1, 0, 1} и

= {2, 2, 1}. Расположите векторы в порядке возрастания их длин.

Даны векторы

= {1, 0, -2} и

= {2, 1, 1}. Верны утверждения

Даны векторы

= {1, 1, 1},

= {0, 3, -1},

= {3,. 1, -3}. Расположите векторы в порядке возрастания их скалярных произведений с вектором

= {1, 0, 1}.

Даны векторы

= {2, 0, 0} и

= 2

. Верны утверждения:

Даны векторы

= {2, 2, 1} и

= 2

+ 2

. Верны утверждения

Длины векторов |

| = 1, |

| = 4, их скалярное произведение (

) = 2. Угол

φ между вект

орами

равен

Для векторов

= 2

+ 2

= {2, 0, 2} укажите верные соответствия

Для векторов

= {1, 3, 1},

= -3

= {-3, 1, 1},

= 5

+ 2

укажите верные соответствия

Координаты вектора

] при

={1, 0, 1} и

= -2

равны

Координаты векторного произведения [

] векторов

={3, 1, -2} и

={-6, -2, 4} равны

Объем параллелепипеда, построенного на векторах

= {-1, 0, 1},

= {2, 1, 2} и

= -

+ 3

равен ___ (число) куб. ед.

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах

+ 5

равен ___ (число).

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах

равен

Площадь треугольника, построенного на векторах

= 2

= {2, 0, 2} равна ___ (число).

Представление вектора

в виде суммы

= Х

называется расположением вектора

по ___

. (слово)

Пропорциональность соответствующих координат двух векторов является условием ___ этих векторов (слово).

Расположите векторы

= 2

+ 2

= {4, 0, -3} и

в порядке убывания их длин.

Скалярное произведение вектора

= {2, -1, 3} на вектор

= 3

+ 2

равно ___ (число).

Среди векторов

- 2

={-1, 0, 2},

, где

(1, -1, 2),

(2, -1, 0),

(1, 1, 2) имеют равные модули векторы

Среди векторов

{

1, 3, 1

}

{

-3, 1, 0

}

3, 1, 1

}

= 5

+ 2

Число, равное произведению модулей векторов

на косинус угла между ними, называется ___ произведением этих векторов (слово).

Элементы линейной алгебры. Матрицы. Определители

Векторы а1 = (1, 0, -1, 0); а2 = (0, 1, 0, 1) образуют ортогональный ___ линейной оболочки L (а1, а2)

Векторы е1 = (1, 0, 0); е2 = (0, 1, 0); е3 = (0, 0, 1) образуют стандартный ___ пространства R3 (слово)

Верны ли утверждения?

А) Векторы а1 = (1, 1, 1); а2 = (1, 1, 0); а3 = (2, 2, 1) образуют базис в R3.

В) Векторы а1 = (1, 1, 1); а2 = (1, 1, 0) образуют базис линейной оболочки L(а1, а2)

Верны ли утверждения?

А) Если выполнено равенство А = АТ, тогда матрица А симметричная.

В) Если переставить местами две строки, то определитель изменит знак.

Верны ли утверждения?

А) Матрица А имеет обратную, если ее определитель равен нулю.

В) Матрица В называется обратной к матрице А, если АВ = ВА = Е.

Верны ли утверждения?

А) Матрица А симметричная, если верно равенство А = А-1.

В) При транспонировании матрицы ее определитель увеличивается на единицу.

Верны ли утверждения?

А) Ортогональная система векторов линейно независима.

В) Любая система векторов в Rn образует базис пространства, если всякий вектор в Rn является линейной комбинацией векторов этой системы.

Верны ли утверждения?

А) При транспонировании ранг матрицы изменяется.

В) Операция перемножения матриц перестановочна.

Верны ли утверждения?

А) Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее угловых элементов.

В) При перестановке двух строк матрицы ее ранг не меняется.

Верны ли утверждения?

А) Число векторов в базисе подпространства называется размерностью подпространства.

В) Система любых m векторов пространства R3 образует базис этого пространства.

Дана матрица

, тогда

det

(

А-1

) равен

Дана матрица

, тогда обратная матрица

А-1

равна

Дана матрица

. Известно произведение

∙

, тогда матрица

должна иметь

Дана система векторов f1 = (1, 0, 0); f2 = (0, 1, 1); f3 = (0, 1, -1)

Дана система векторов а1 = (1, 0, 0, 0); а2 = (1, 1, 0, 0); а3 = (1, 1, 1, 0), а4 = (0, 1, 2, 0)

Дана система векторов с1 = (1, 0, 0); с2 = (0, 1, 0); с3 = (0, 0, 1)

Даны векторы

= (-1, -2, 1, 0) и

= (1, 0, 1, 3)

Даны матрицы

. Расположите матрицы в порядке возрастания их определителей.

Даны матрицы

. Расположите матрицы в порядке возрастания следа матрицы, равного сумме элементов главной диагонали.

Даны матрицы

. Расположите матрицы в порядке убывания их определителей.

Даны матрицы

. Расположите матрицы в порядке убывания их рангов.

Даны матрицы

, тогда произведение матриц

В ∙ А

равно

Даны матрицы А = и В = , тогда элемент С21 произведения матриц

С = А ∙ В равен

Даны матрицы А = и В = . Тогда определитель произведения матриц

det (BТ∙А) равен

Даны матрицы А = и В = . Тогда определитель произведения матриц

det (АТ∙B) равен

Даны матрицы:

. Расположите матрицы в порядке убывания их определителей.

Даны матрицы:

. Расположите матрицы в порядке убывания суммы элементов побочной диагонали.

Даны матрицы:

. Расположите матрицы в порядке увеличения значений определителей обратных матриц

det

(

А-1

det

(

В-1

det

(

С-1

)

Даны системы векторов: а) а1 = (1, 1, 1); а2 = (2, -1, 1); в) b1 = (1, 0, 2); b2 = (0, 1, 1); b3 = (1, 0, 3); с) с1 = (0, 1, 1); с2 = (1, 0, 1); с3 = (-1, 1, 1). Базис в R3 образуют системы:

Даны системы векторов: а) а1 = (1, 2); а2 = (2, 1); в) b1 = (-3, 1, -4); b2 = (2, 4, 12); b3 = (6, 5, 22); с) с1 = (-1, 3, 2); с2 = (3, 0, 2); с3 = (-4, 3, 0). Линейно зависимыми являются системы:

Даны системы векторов: а) а1 = (1, 2); а2 = (2, 3); в) b1 = (-3, 1, -4); b2 = (1, -1, 3); b3 = (-2, 0, -1); с) с1 = (-1, 3, 2); с2 = (3, 0, 2); с3 = (1, 1, 4). Линейно независимыми являются системы:

Даны три системы векторов: 1) а1 = (1, 2, -1, 1); а2 = (-1, -2, 1, -1); а3 = (1, 0, 0, 0), 2) а1 = (1, 2, -1, 1); а2 = (-1, -2, 1, -1); а3 = (2, 4, -2, 2), 3) а1 = (1, 2, -1, 1); а2 = (-1, -2, 1, 1); а3 = (2, 4, -3, 4). Расположите эти системы в порядке возрастания их рангов.

Если для матрицы второго порядка det (А) = 3, тогда det (3А) равен ___ (число)

Если матрица

, тогда

det

(

АТ ∙ А

) равен ___ (число)

Если матрица

, тогда определитель

det

(

А - АT

) равен

Если матрица

, тогда определитель матрицы, составленной из алгебраических дополнений матрицы

равен

Квадратная матрица А, определитель которой det (А) равен нулю, называется ___ (слово)

Квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, остальные элементы равны нулю, называется ___ матрицей (слово)

Координаты вектора x = (1, 2, 3) в базисе (а): а1 = (1, 0, 2); а2 = (0, 1, 1); а3 = (1, 0, 3) равны

Максимальное число линейно независимых векторов системы называется ___ этой системы (слово)

Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы называется ___ матрицы (слово)

Матрица

. Определитель

det

) равен

Матрица

называется ___ (слово)

Матрица

не имеет обратной при

равном

Матрица

является ___ (слово)

Матрица

является вырожденной при

равном

Матрица А имеет обратную тогда и только когда, когда ее определитель det (А) не равен ___ (число)

Матрица, число строк которой равно числу ее столбцов (n = m), называется ___ матрицей (слово)

Определитель

det

(

) = -

, тогда

det

(

А-1

) = ___ (число)

Определитель Δ =

равен ___ (число)

Определитель

равен нулю при

равном ___ (число)

Определитель двух взаимно обратных матриц det (А ∙ А-1) равен ___ (число)

Определитель матрицы

равен ___ (число)

Определитель матрицы

равен ___ (число)

Определитель матрицы

равен ___ (число)

При умножении матрицы А размерности 3×5 на матрицу В получилась матрица С=АВ размерности 3×6. Матрица В имеет размерность

Размерность линейной оболочки L (а1, а2, а3) векторов а1 = (1, 0, -1, 0); а2 = (0, 1, 0, 1); а3 = (1, 1, -1, 1) равна ___ (число)

Ранг матрицы

равен

Ранг матрицы

равен ___ (число)

Ранг матрицы А равен 3, тогда ранг матрицы 5А равен

Ранг системы векторов а1 = (1, 0, -1, 0); а2 = (0, 1, 0, 1); а3 = (1, 1, -1, 1); а4 = (2, 1, -2, 1) равен ___ (число)

Ранг системы векторов а1 = (2, -1, 0, 1); а2 = (1, 1, -1, 0); а3 = (0, -3, 2, 1) равен

Решением уравнения

= 0 является число

равное ___ (число)

Система n линейно независимых векторов а1, а2, а3 пространства R3 образуют ___ этого пространства (слово)

Система n линейно независимых ортогональных векторов пространства Rn образуют ___ базис пространства Rn (слово)

Укажите верные соответствия между векторами и их ортами

Укажите верные соответствия между координатами вектора х = (1, 1, 1) в различных базисах {a1, a2, a3}

Укажите верные соответствия между матрицами А, В и их произведением АВ

Укажите верные соответствия между матрицами А, В и матрицей АВ - ВА

Укажите верные соответствия между матрицами и их типами

Укажите верные соответствия между матрицей А и ее определителем det (А)

Укажите верные соответствия между матрицей А и матрицей (А - АТ)

Укажите верные соответствия между матрицей А и матрицей А2

Укажите верные соответствия между матрицей А и обратной матрицей А-1

Укажите верные соответствия между матрицей А и определителем det (А-1)

Укажите верные соответствия между матрицей А и соответствующим определителем

Укажите верные соответствия между системами векторов и их характеристиками

Укажите верные соответствия между системами векторов и рангом системы

Укажите верные соотношения между векторами и их ортами

Число векторов в базисе подпространства векторов V равно ___ этого подпространства (слово)

Элементы теории множеств

Даны множества А = {-1, 0, 3, 8}, В = {3, 7, 9}, С = {-1,0,8}. Верным является равенство:

Даны множества А = {3,5,7}, В = {3,6,7}, и С = {3,7}. Выберите верные равенства:

Для множеств А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = {5, 7, 8}, С = {5, 7} верны соотношения

Для множеств А = {3, 4, 7}, В = {3, 4}, и С = {7}верны соотношения:

Множество А = {х | |x| ≤ 5, изображено на рисунке

Множество, изображенное на рисунке

это: