Все вопросы к тесту (html) Теория вероятностей и математическая статистика (курс 2)



Изучение дисперсии с помощью статистического эксперимента. Проверка гипотез о законе распределения

Cмещенной точечной оценкой параметра является

Вероятность выиграть, играя в рулетку, 1/37. Сделав ставку 100 раз, мы ни разу не выиграли. Заподозрив, что игра ведется нечестно, мы решили проверить свою гипотезу, построив 95%-ый доверительный интервал. Определите, по какой формуле строится интервал и что дала проверка в нашем случае

Гипотезы об однородности выборок – это гипотезы о том, что рассматриваемые выборки извлечены из

Для проверки гипотезы о виде распределения вероятностей по критерию Колмогорова в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями используется статистика l, имеющая распределение Колмогорова. Она вычисляется по формуле

Для упрощения счета из всех значений выборки вычли 1280. Эмпирическая дисперсия при этом

Для упрощения счета из всех значений выборки вычли 1280. Эмпирическое среднее при этом

Для уровня значимости a=0,05 критическое значение распределения Колмогорова равно

Если выборка группируется для проверки гипотезы о виде распределения по критерию c2 и если в какие-то интервалы группировки попало слишком мало наблюдений, необходимо

Если выборка группируется для проверки гипотезы о виде распределения по критерию c2, на интервалы группировки накладывается строгое ограничение: необходимо, чтобы

К критериям согласия эмпирических наблюдений выдвинутой гипотезе относятся:

Монету бросали 100 раз. 62 раза выпал орел; для проверки гипотезы о симметричности монеты строим 95%-ый доверительный интервал для р и проверяем, попали ли мы в него. Определите, по какой формуле строится доверительный интервал и что даст проверка в нашем конкретном случае

Несмещенная оценка для дисперсии вычисляется по эмпирической дисперсии S2 по формуле

По выборке построен доверительный интервал для генерального среднего. Оказалась, что генеральное среднее по такому объему выборки определяется с точностью 0,2. Чтобы повысить точность вдвое, объем выборки надо ___ раз(а)

При проверке гипотезы о виде распределения по критерию Колмогорова максимальная разница между теоретическим распределением и эмпирическим оказалась равной 0,1. Число испытаний равно n. Укажите значения n и вывод на уровне 0,05 о правильности гипотезы, не противоречащие друг другу:

При проверке гипотезы об однородности двух выборок по критерию Колмогорова-Смирнова максимальная разница между эмпирическими распределениями оказалась равной 0,1. Число испытаний равно для обеих совокупностей n. Укажите значения n и вывод на уровне 0,05 о правильности гипотезы, не противоречащие друг другу:

Проведено 10 измерений и по ним вычислена эмпирическая дисперсия S2=4,5. Несмещенная оценка для генеральной дисперсии равна ___ (укажите число)

Сумма квадратов отклонений S от точек (1,1), (1,3) (3,2), (3,4) до прямой y=x/2+1,5 равна ___ (укажите число)



Корреляционный и регрессионный анализ. Дисперсионный анализ

Две случайные величины X и Y находятся в ___ зависимости, если каждому значению любой из этих величин соответствует определенное распределение вероятностей другой величины

Для обработки наблюдений методом наименьших квадратов построена прямая. Какой из графиков верный

Для оценки тесноты связи между признаками (Х,Y) в числовой форме вычисляют безразмерную характеристику, выражающую тесноту связи между признаками в числовой форме. Это

Для построения доверительного интервала для дисперсии надо пользоваться таблицами

Для построения эмпирических прямых регрессии применяют метод

Если средствами дисперсионного анализа показано, что гипотеза о совпадении средних при разных уровнях фактора не противоречит данным опыта, в качестве оценки общего среднего можно взять

Имеется m выборок объема n из m нормальных законов с одинаковыми дисперсиями s2 и математическими ожиданиями а1,а2,…,аm. Задача проверки нулевой гипотезы Н0 о совпадении m математических ожиданий – Н0: а1=а2=…аm решается методами

Имеется случайная величина (X,Y). Выберите верное утверждение:

Методом дисперсионного анализа можно проверить гипотезу о

По выборке объема n=51 вычислен эмпирический коэффициент корреляции r=0,1. Чему равно значение статистики, с помощью которой проверяется гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции? Можно ли утверждать, что на уровне значимости 0,05 верна гипотеза о том, что генеральный коэффициент корреляции равен нулю?

Случайная величина (Х,Y) распределена по двумерному нормальному закону, параметры которого равны: ax=1; ay=2; r=0,5; sx=1; sy=2. Уравнение регрессии Y на Х имеет вид

Статистика, с помощью которой по эмпирическому значению коэффициента корреляции r и числу испытаний n проверяется значимость коэффициента корреляции, имеет распределение



Многомерное нормальное распределение и функции от нормально распределённых случайных величин. Предельные теоремы теории вероятности

Если X1 и X2 независимые случайные величины, то характеристическая функция их суммы равна

Математическое ожидание и дисперсия c2-распределения с n степенями свободы равны, соответственно

Неравенство Чебышева имеет вид

Характеристическая функция g(t) случайной величины X – это функция



Основные понятия теории вероятностей

15% всех мужчин и 5% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Вероятность того, что это мужчина, равна (число мужчин и женщин считается одинаковым)

20% всех мужчин и 5% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Вероятность того, что это мужчина, равна (число мужчин и женщин считается одинаковым)

Бросается 5 монет. Вероятность того, что выпадет 3 герба, равна___(укажите число в виде обыкновенной дроби)

Бросают 2 монеты. Вероятность того, что выпадут и герб, и решка равна___(укажите число в виде десятичной дроби)

Брошено 10 игральных костей. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Укажите соответствие между событием и значением его вероятности:

Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры. Вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов равна___ (укажите число в виде десятичной дроби)

В группе 25 студентов, из которых отлично учится 5 человек, хорошо – 12, удовлетворительно – 6 и слабо – 2. Преподаватель вызывает студента. Вероятность того, что вызванный студент или отличник, или хорошист равна___(укажите число в виде обыкновенной дроби)

В круг радиуса 10 помещен меньший круг радиуса 5.Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения . Вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг___(укажите число в виде десятичной дроби).

В круг радиуса 20 вписан меньший круг радиуса 10 так, что их центры совпадают. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения. Вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями равна___(укажите число в виде десятичной дроби)

В ящике в 5 раз больше красных шаров, чем черных. Вероятность p того, что вынутый наугад шар окажется красным, равна___(укажите число в виде обыкновенной дроби)

Вратарь парирует в среднем 0,3 всех одиннадцатиметровых штрафных ударов. Вероятность того, что он возьмет ровно 2 из 4 мячей, равна___(укажите число в виде десятичной дроби с точностью до 0,0001)

Всегда зависимы события, если они

Выпущено 100 лотерейных билетов, причем установлены призы, из которых восемь выигрышей по 1 руб, два-по 5 руб., один – 10 руб. Укажите ( с точностью до 0,01) соответствия вероятностей событий

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0,6, у другого – 0,7. Вероятность того, что цель будет поражена двумя пулями равна___ (укажите число в виде десятичной дроби с точностью до 0,01)

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0,8, у другого – 0,9. Вероятность того, что цель не будет поражена ни одной пулей, равна ___(укажите число в виде десятичной дроби с точностью до 0,01)

Завод в среднем дает 27% продукции высшего сорта и 70% – первого сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие не будет высшего или первого сорта, равна___(укажите число в виде десятичной дроби)

Завод в среднем дает 28% продукции высшего сорта и 70% – первого сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или высшего, или первого сорта, равна ___(укажите число в виде десятичной дроби с точностью до 0,01)

Идёт охота на волка. Вероятность выхода волка на 1-го охотника – 0,7; вероятность выхода волка на 2-го охотника – 0,3. Вероятность убийства волка 1-ым охотником, если волк вышел на него, – 0,8; вероятность убийства волка 2-ым охотником, если волк вышел на него, – 0,5. Вероятность убийства волка равна

Идёт охота на волка. Вероятность выхода волка на 1-го охотника – 0,8; вероятность выхода волка на 2-го охотника – 0,2. Вероятность убийства волка 1-ым охотником, если волк вышел на него, – 0,8; вероятность убийства волка 2-ым охотником, если волк вышел на него, – 0,5. Вероятность убийства волка равна

Изделия изготовляются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Вероятность того, что из 200 взятых наугад изделий ровно 2 окажутся неисправными, равна___(укажите число в виде десятичной дроби с точностью до 0,001)

Изделия изготовляются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Вероятность того, что из двух взятых наугад изделий окажутся неисправными оба, равна___(укажите число в виде десятичной дроби с точностью до 0,0001)

Имеется собрание из 4 томов. Все 4 тома расставляются на книжной полке случайным образом. Вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, 3, 4 или 4, 3, 2, 1, равна

Имеется собрание из 5 томов. Все 5 томов расставляются на книжной полке случайным образом. Вероятность того, что тома расположатся в порядке 1, 2, 3, 4, 5 или 5, 4, 3, 2, 1, равна

Колода состоит из 36 карт. Игроку сдаются 2 карты. Вероятность того, что игроку достанутся две черви, равна

Колода состоит из 36 карт. Игроку сдаются 2 карты. Вероятность того, что игроку достанутся одна пика, одна бубна, равна

Монету бросают 400 раз. Вероятность выпадения герба равна 0,5. Укажите (с точностью до 0,0001) соответствия вероятностей событий

На отрезке длиной 20 см помещен меньший отрезок L длиной 10 см. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. Вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет также и на меньший отрезок равна ___ (укажите число в виде десятичной дроби)

При n испытаниях появление некоторого события имеет вероятность p; обозначим q=1-p .Укажите соответствие между условиями задачи и методом ее решения

Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении прибора – 0,03, второго – 0,06. Вероятность того, что при включении прибора откажет только второй элемент, равна ___ (укажите число в виде десятичной дроби с точностью до 0,0001)

Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Вероятность того, что сделав 3 выстрела, он 2 раза попадет, равна___(укажите число в виде десятичной дроби с точностью до 0,001)

Студенту предлагаются 6 вопросов и 4 ответа на каждый вопрос, из которых он должен указать тот, который ему кажется правильным. Студент не подготовился и случайно угадывает ответ. Вероятность того, что он правильно ответит ровно на половину вопросов, равна___(укажите число в виде десятичной дроби с точностью до 0,001)

Укажите какая из формул комбинаторики используется при решении каждой из задач:

Укажите соответствие между вероятностью описываемого события и его значением:

Укажите функции распределения какой случайной величины соответствуют данные свойства

Человеку, достигшему 20-летнего возраста, вероятность умереть в течение 20 лет равна 0,02. Вероятность того, что из 200 застраховавшихся на 20 лет человек в возрасте 20 лет ни один не умрет, равна___(укажите число в виде десятичной дроби с точностью до 0,0001)

Человеку, достигшему 20-летнего возраста, вероятность умереть на 21-м году жизни равна 0,01. Вероятность того, что из 200 застраховавшихся человек в возрасте 20-ти лет ровно один умрет через год, равна___(укажите число в виде десятичной дроби с точностью до 0,001)

Человеку, достигшему 60-летнего возраста, вероятность умереть на 61-м году жизни равна 0,09. Вероятность того, что из трех человек в возрасте 60 лет ни один не будет жив через год, равна___(укажите число в виде десятичной дроби с точностью до 10-6)



Основные понятия теории случайных процессов

В зависимости от характера изменения аргумента (дискретное или непрерывное время), а также строения фазового пространства (пространства состояний), которое может быть дискретным или непрерывным, все случайные процессы можно разделить на ___ класса (укажите число)

Дисперсия числа событий простейшего потока с параметром λ, наступивших за единицу времени, равна

Если X(t) – случайный процесс с дискретным временем, то его дисперсия есть неотрицательная

Если X(t) – случайный процесс с дискретным временем, то математическое ожидание есть

Если X(t) – случайный процесс с непрерывным временем, то его дисперсия есть

Если X(t) – случайный процесс с непрерывным временем, то его математическое ожидание есть

Ковариационная функция случайного процесса X(t) определяется формулой

Марковский процесс называется однородным, если

Множество возможных значений случайного процесса называется

Промежуток времени T между соседними событиями простейшего потока имеет функцию распределения

Пуассоновский процесс – это

Реализация случайного процесса – это

Самая элементарная классификация случайных процессов – по

Семейство реализаций случайного процесса может быть получено в результате

Сечение случайного процесса X(t) = φ(t, ω) получается при

Случайная последовательность – это случайный процесс

Случайный процесс называется гауссовским, если все его конечномерные распределения являются

Случайный процесс с дискретным временем – это семейство случайных величин X(t)

Случайный процесс с непрерывным временем – это семейство случайных величин X(t), где

Случайный процесс – это

Состояние системы (или состояние случайного процесса) X(t) – это

Состояние системы (или состояние случайного процесса) X(t)– это

Уравнения Колмогорова позволяют найти

Цепь Маркова – марковский случайный процесс с



Понятие выборки и её распределения

Автомашина пришла из Минска в Могилев со скоростью 40 км/ч и сразу же повернула обратно. Скорость ее на обратном пути была на 20 км/ч больше. Средняя скорость составила ___ км/ч (укажите число)

Величина x имеет распределение N(a, s). Вероятность p{x < a – 1,65s} равна ___(с точностью до 0,01)

Дан вариационный ряд выборки объема n = 9: –2, 0, 3, 3, 4, 5, 9, 11, 12. Выборочная медиана для этого ряда d равна___(укажите число с точностью до целых)

Дана выборка объема n = 10: 0, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9. Выборочное среднее равно ___ (укажите число с точностью до 0,1)

Дана выборка объема n = 5: 2, 3, 5, 7, 8. Выборочная дисперсия S2 равна ___ (укажите число с точностью до 0,1)

Дана выборка объема n = 7: 3, 5, –2, 1, 0, 4, 3. Вариационный ряд для этой выборки и размах вариационного ряда:

Дана выборка объема n: х1, х2, х3, …, хn. Выборочное среднее находится по следующей формуле:

По выборке построена таблица статистического распределения выборки. Из приведенных таблиц возможна следующая:



Построение точечных и интервальных оценок для параметров распределения. Проверка статистических гипотез

Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Если каждый элемент выборки увеличить на 5 единиц, то

Для построения доверительного интервала для оценки вероятности биномиального распределения по относительной частоте надо пользоваться таблицами ___ распределения

Для того чтобы вдвое сузить доверительный интервал, построенный для математического ожидания, число наблюдений надо увеличить в ___ раз(а) (укажите целое число)

Для того чтобы по выборке объема n = 10 построить доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения, дисперсия которого неизвестна, нужны таблицы

При проверке гипотезы об однородности m выборок при m>2 в качестве теоретических частот используются

При проверке с помощью критерия c2 гипотезы о равномерном распределении R(a,b), когда концы интервала a и b неизвестны, а число интервалов группировки равно m, статистика c2 имеет распределение c2 с числом степеней свободы m-___ (укажите цилое число)



Процессы с управляемыми параметрами. Прогнозирование случайных процессов

В управляемом марковском процессе решение есть функция от ___ процесса

В управляемом марковском процессе стратегию образуют (образует)

Вероятность потерь по времени системы с отказами, где n – число пришедших требований, w – число потерянных требований среди пришедших, есть

Вероятность потерь по времени системы с отказами, где t3 – отрезок времени, когда система была полностью занята, за время наблюдения t, есть

Задачи управления марковскими процессами решаются с помощью уравнения

Ковариационная функция B(t) стационарного случайного процесса как функция аргумента t является

Ковариационная функция B(t) стационарного случайного процесса при t = 0 равна

Конечномерным распределением случайного процесса в моменты t1, …, tn называется распределение многомерной случайной величины, составленной в моменты t1, …, tn из

Линейный прогноз X̂(τ) называют оптимальным (наилучшим) для случайного процесса X(τ), если на нем минимальна величина

Линейный прогноз является наилучшим из возможных для процессов

Марковский случайный процесс обладает следующим свойством:

Математическое ожидание случайного процесса Z(t) = Xt + Yt2, где MX = 3, MY = –2, равно

Математическое ожидание стационарного случайного процесса есть

Модуль ковариационной функции B(t) стационарного случайного процесса достигает при t = 0

Наибольший средний выигрыш в управляемом марковском процессе достигается на стратегии

При решении задач оптимального линейного прогнозирования считают известной, по крайней мере,

Прогноз неизвестных значений стационарного случайного процесса есть функция от

Случайный процесс X(t) = 2Vt, где V – случайная величина, имеющая стандартно нормальное распределение. Его дисперсия s2(t) равна

Случайный процесс X(t) = 3Vt, где V – случайная величина, имеющая стандартно нормальное распределение. Его ковариация B(t,s) равна

Случайный процесс X(t) = Vt + 5, где V(t) – случайная величина, имеющая стандартно нормальное распределение, f(x, t) – плотность распределения сечения этого процесса имеет вид

Случайный процесс X(t) = Vt – 1, где V(t) – случайная величина, имеющая стандартно нормальное распределение. Его математическое ожидание m(t) равно

Средний суммарный выигрыш в управляемом марковском процессе является функцией от

Цена «предприятия по эксплуатации» системы, соответствующей управляемому марковскому процессу, – это значение суммарного выигрыша на стратегии



Системы случайных величин

Дискретный случайный вектор – это

Дисперсия суммы двух случайных величин D(X+Y) равна

Если две независимые случайные величины распределены по закону Пуассона с параметрами l1 и l2, то их сумма имеет распределение

Если случайные величины X и Y независимы и их характеристические функции gx(t) и gy(t), тогда характеристическая функция их суммы gx+y(t) равна

Если случайные величины X и Y независимы, то

Если случайные величины независимы, то ковариация равна

Закон больших чисел отражен в теоремах

Известно, что X ~ N(0,3), Y ~ N(0.5, 2), Х и Y независимы. Случайная величина S = X + 2Y имеет распределение

Математическое ожидание суммы случайных величин равно ___ их математических ожиданий

Независимые случайные величины имеют распределение Пуассона с параметрами l1=0,5 и l2=1,5. Тогда сумма X+Y распределена по закону Пуассона с параметром l, равным

Некоррелированные случайные величины быть зависимыми

Непрерывный случайный вектор – это

Плотность распределения и функция распределения двумерной случайной величины связаны соотношением

Пусть две независимые случайные величины X и Y имеют дисперсии D(X)=2 и D(Y)=3, тогда D(X+Y) равно

Случайная величина X имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию – 1, тогда вероятность того, что величина X отклонится от нуля не меньше чем на 3, имеет оценку сверху

Случайные величины X и Y называют независимыми, если функция распределения вектора (X,Y) F(x,y) может быть представлена в виде

Случайным вектором или n-мерной случайной величиной называют

Среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию (если последнее существует)

Термины "некоррелированные" и "независимые" случайные величины эквивалентны для случая

Условная функция распределения случайной величины X при условии B F(x/B) есть

Формула D(X+Y)=D(X)+D(Y)

Частота события сходится по вероятности к его вероятности при увеличении числа опытов



Случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики случайных величин

В системе аксиом Колмогорова А.Н. неопределяемыми понятиями являются

Для дискретной случайной величины верно

Для математического ожидания произведения случайной величины Х и постоянной С справедливо свойство:

Для математического ожидания суммы случайной величины Х и постоянной С имеет место

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [1,3], равны

Математическое ожидание случайной величины Х равно нулю. Тогда случайная величина Х является

Правильным является следующее соотношение:

Правильным является следующее соотношение:

Правильным является следующее соотношение:

Симметричную монету бросают 2 раза. Если выпадает 0 гербов, то игрок платит 10 рублей. Если выпадает 1 герб, 1 решётка, то игрок получает 1 рубль. Если выпадает 2 герба, то игрок получает 5 рублей. Математическое ожидание выигрыша равно

Симметричную монету бросают 2 раза. Если выпадает 0 гербов, то игрок платит 20 рублей. Если выпадает 1 герб, 1 решётка, то игрок получает 5 рублей. Если выпадает 2 герба, то игрок получает 10 рублей. Математическое ожидание выигрыша равно

Случайная величина Х – время ожидания автобуса – имеет равномерное распределение на отрезке [0, 20]. Математическое ожидание, дисперсия и вероятность Р(3 < X < 5) равны

Случайная величина распределена «нормально с параметрами 3,2» – N[3,2]. Ее математическое ожидание и дисперсия

Утверждение о том, что функция распределения однозначно определяется своей характеристической функцией

Формула D(-X)=D(X)

Формула M(CX)=CM(X)

Числовые характеристики дискретной случайной величины – это

Числовые характеристики непрерывной случайной величины – это



Теория массового обслуживания

Входящим потоком называется множество моментов

Имеется одно наблюдение одноканальной системы с неограниченной очередью, t0 – общее время, когда система свободна, u– число обслуженных требований, а u – число требований, поступивших в систему за время наблюдения t; тогда оценка интенсивности входящего потока

Классификацию систем массового обслуживания проводят в зависимости от:

Простейший поток является

Системы массового обслуживания предназначены для многократного проведения некоторой однотипной элементарной операции, которая называется операцией

Среднее количество телефонных вызовов в час – 3. Вероятность получения более двух вызовов определяется следующим образом

Среднее количество телефонных вызовов в час – 3. Вероятность получения не более двух вызовов определяется следующим образом

Среднее количество телефонных вызовов в час – 3. Вероятность получения не более пяти вызовов определяется следующим образом

Укажите соответствия в классификации случайных процессов по зависимости между значениями процесса X(t) в различные моменты времени t.